Повторные независимые испытания.

 

14. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступления события.

Пусть в результате испытания возможно 2 исхода: 1)появится событие А;

2)появится противоположное событие . Проводим n испытаний, события независимы и Р(А)=р, Р( =q=1-р

 тогда .

Где n-кол-во испытаний

K-кол-во удачных испытании

C^k_{n=n!/K!(n-K)! (без упорядочивания без возвращения!/)}

ПР: найти вероятность того, что стрелок попадёт 3 раза в мишень из 5 выстрелов, если вероятность попадания в мишень для стрелка 0,8

n=5  K=3 P=0,8  g=1-р=0,2

Наивероятнейшее число наступления события А в испытанмях Бернули

np-g<m найвероятнейш.<np+p

Пример:

При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущее цели=0,9. Найти найвероятнейшее число попаданий при 50 выстрелов.

n 50    p=0,9     g=0,1

50*0,9*0,1<m<50*0,9*0,9* 44,9<m<45,9   m найв=45

Локальная формула Муавра-Лапласа.

Если вероятность (р)появления события А в каждом испытании постоянно и отлично от 0 до 1, то вероятность Р_n(К) того, что событие А в n испытаниях появятся ровно К раз, приближенно равно:

Р_n(К)= .

Прим: Найти вероятность того, что событие А наступят ровно 80 раз из 400 испытаний.

Вероятность появления события А=0,2

n=400          K=80      p=02             g=08

Интергральная формула Муавра-Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянно и отлично от 0 и 1, то Р_n(X_K1, X_K2) или Р_n(К_1, К₂), то событие А появится в n испытаниях от К₁ до К₂ раз приближенно равно

Р_n(К_1, К₂)=Ф(X_K2)-Ф(X_K1).

Формула Пуассона

Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянно но мала, а число независимых испытаний достаточно велико также неброльшое (не больше 10)то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит К-раз ͌ /

ПРИМЕР:

Пусть вероятность изготовления нестандартных деталей =0,004. Найти вероятность того что среди 1000 деталей окажется h 5 нестандартных.

P=0,004 m=5 n=10000

е=2,7

=0?1563

 18.Случайная величина.

Случайной величиной можно назвать числовую функцию х() элементарного события , которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Сущ. 2 типа случ. величин:

1)дискретная- случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности;

2) непрерывная- случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка

ПР: Дважды подбрасываем монету

 Ὼ={(гг)(рр)(рг)(гр)}

Рассмотрим СВх

Х=(Число выпадения герба)

Получим табл.

W	гр	рг	гг	рр
x	1	1	1	1

Случайные величины наз дискретной -если они принимает конечное либо счетное число значений.

Функцией распределения случайных величин называется функция F(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет в результате реализации эксперимента значение, меньшее, чем заданное х. Функция распределения F(x) случайной величины Х имеет следующие свойства:

1. Все значения функции распределения F(x) принадлежат отрезку [0, 1], т.е. 0≤ F(x) ≥1.

2. Функция распределения F(x) является неубывающей, т.е. если  <  , то F() ≤ F()

З. Функция F(x) в точке  непрерывна слева, Т.е.

4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то для ее функции распределения F(x)

F(x) = о при х≤ а, F(x) = 1 при х≥b.