Применяем интегрирование по частям вместе

Пример 1. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. В подынтегральном выражении - логарифм, который, как мы уже знаем, разумно обозначить через u. Полагаем, что .

Тогда .

Находим (как уже говорилось в пояснении к теоретической справке, сразу же получаем в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) - функцию, не содержащую логарифма):

И снова логарифм...

Пример 2. Найти неопределённый интеграл:

.

Решение. Пусть .

Логарифм присутствует в квадрате. Это значит, что его нужно дифференцировать как сложную функцию. Находим,
.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Второй интеграл вновь находим по частям и получаем уже упомянутое преимущество (в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) - функцию, не содержащую логарифма).

Находим изначальный интеграл:

Пример 3. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Арктангенс, как и логарифм, лучше обозначить через u. Итак, пусть , .

Тогда ,
.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Второй интеграл находим методом замены переменной.

Возвращаясь к переменной x, получаем

.

Находим изначальный интеграл:

.

Пример 4. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

Решение. Экспоненту лучше обозначить через dv. Разбиваем подынтегральное выражение на два множителя. Полагая, что

находим

Пример 5. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Пусть . Тогда .

Используя формулу интегрирования по частям (1), находим:

Пример 6. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Синус, как и экспоненту, удобно обозначить через dv. Пусть .

Тогда .

По формуле интегрирования по частям находим:

Пример 7. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Косинус, как и синус и экспоненту, удобно обозначить через dv. Итак, , .

Тогда .

По формуле интегрирования по частям находим:

Ко второму слагаемому вновь применяем интегрирование по частям. Обозначаем .

Тогда .

Интегрируя далее, находим:

Пример 8. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Логарифм удобно обозначить через u. Итак, .

Тогда ,.

По формуле интегрирования по частям находим:

Пример 9. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Обозначаем .

Тогда .

По формуле интегрирования по частям находим:

Ко второму слагаемому также применяем интегрирование по частям. Обозначаем .

Тогда .

Далее интегрируем:

Теперь из полученного уравнения выразим требуемый интеграл :

и окончательно находим:

.

Пример 10. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Как и во всех подобных случаях, косинус удобно обозначить через dv. Обозначаем .

Тогда .

По формуле интегрирования по частям получаем:

Ко второму слагаемому также применяем интегрирование по частям. Обозначаем .

Тогда .

Применив эти обозначения, интегрируем упомянутое слагаемое:

Теперь находим требуемый интеграл:

Среди интегралов, которые можно решить методом интегрирования по частям, есть и такие, которые не входят ни в одну из трёх упомянутых в теоретической части групп, относительно которых из практики известно, что лучше обозначать через u, а что через dv. Поэтому в этих случаях нужно пользоваться соображением удобства, также приведённым в параграфе "Суть метода интегрирования по частям": за u следует брать такую часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за dv - такую часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется. Последний пример этого урока - решение именно такого интеграла.

Пример 11. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Примем как руководство к действию общее соображение относительно обозначений. Обозначаем .

Тогда .

По формуле интегрирования по частям получаем: