Число этих перестановок вычисляется по формуле

Pⁿ_{n1 , n2 ,... nk} = , где п — общее количество элементов, входящих в перестановку, a n₁,   n ₂,, n_k  — количество одинаковых элементов в первой, второй,..., k-й группах.

 

№5 Определим число перестановок с повторениями, которое можно получить из букв, составляющих словоформу математика. Всего в перестановках участвует десять букв, т. е. n = 10; буква м повторяется два раза, поэтому если бы все остальные буквы были различными, то искомое число перестановок, было бы равно P₂¹⁰= 10! / 2!. На самом деле, кроме двух одинаковых м в нашем слове имеются три а и два т. Поэтому общее число перестановок, полученных из букв, входящих в словоформу математика, равно

~

P ¹⁰_2,2,3 =

Группы комбинаций, различающиеся только элементами, называются сочетаниями из п элементов по т. Их число равно:  

 

 

№6 имеется пять гвоздик разного цвета. Требуется составить букет изтрёх гвоздик разного цвета.

Решение:С³₅=5!/3!*(5-3)!=5!/3!*2!=4*5/1*2=20/2=10.

Решите задачи:

1. Сколькими способами могут восемь человек стать в очередь к театральной кассе?

2. Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир?

3. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

4. В магазине продаётся 8 различных наборов марок, спортивной тематики. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

5. Сколькими способами может разместится семья из трёх человек в четырёхместном купе, если других пассажиров в купе нет?

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.

Раздел 5: Координаты и векторы.

Самостоятельная работа №12 «Действие над векторами в координатной форме»

Цель: закрепить знания учащихся по теме в ходе решения задач.

Теоретический материал

Отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда координаты его конца называются координатами вектора. Обозначим    векторы с координатами (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) соответственно. Их длины равны единице, а направления совпадают с направлениями соответствующих осей координат. Будем изображать эти векторы, отложенными от начала координат и называть их координатными векторами.

Теорема.Вектор  имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда, когда он представим в виде /

№п/п	Название операции	Формулы
1	Найти сумму векторов
2	Найти разность векторов
3	Найти произведение вектора на число
4	Вычислить координаты середины отрезка
5	Найти координаты вектора	s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:b/><w:i/></w:rPr><m:t>z</m:t></m:r></m:e><m:sub><m:r><m:rPr><m:sty m:val="bi"/></m:rPr><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:b/><w:i/></w:rPr><m:t>1</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">
6	Найти длину вектора
7	Вычислить скалярное произведение векторов
8	Найти косинус угла между векторами
10	Проверьте перпендикулярность векторов	- условие перпендикулярности векторов

 

Задание 1.: выполнить тренировочные задания

Вариант 1

№п/п	Название операции	Формулы
1	Найти сумму векторов
2	Найти разность векторов
3	Найти произведение вектора на число	,
4	Вычислить координаты середины отрезка	Точка A   Точка B (-3;4;-1  Точка С- середина отрезка АВ. С(; ;
5	Найти координаты вектора	Точка A   Точка B (-1;4;-7 .Находим координаты вектора t wx:val="Cambria Math"/><w:b/><w:i/></w:rPr></m:ctrlPr></m:accPr><m:e><m:r><m:rPr><m:sty m:val="bi"/></m:rPr><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:b/><w:i/></w:rPr><m:t>РђР’</m:t></m:r></m:e></m:acc></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> . Из координат конца вычислить координаты начала вектора
6	Найти длину вектора
7	Вычислить скалярное произведение векторов

Вариант 2

№п/п	Название операции	Формулы
1	Найти сумму векторов
2	Найти разность векторов
3	Найти пароизведение на число	,
4	Вычислить координаты середины отрезка	Точка A   Точка B (2;-3;1  Точка С- середина отрезка АВ. С(; ;
5	Найти координаты вектора	Точка A   Точка B (1;-4;7 . Находим координаты вектора . Из координат конца вычислить координаты начала вектора
6	Найти длину вектора
7	Вычислить скалярное произведение векторов

Задание 2.: Решить задачи

Вариант1

Даны векторы  и  (для № 1-5).

1. Найти .

2. Найти .

3. Найти .

4. Найти .

5. Найти координаты векторов , , .

6. В прямоугольной декартовой системе координат построить точки A (0; 0),
B (3; -4), C (-3; 4). Определить расстояние между точками A и B, B и C, A и C.

7.

Вариант 2

Даны векторы  и  (для № 1-5).

1. Найти .

2. Найти .

3. Найти .

4. Найти .

5. Найти координаты векторов , , .

6. В прямоугольной декартовой системе координат построить точки A (0; 0),
C (-3; 4), D (-2; 2) E (10; -3). Определить расстояние между точками C и D, A и D, D и E.

Задание 3.: заполнить таблицу «Координаты и векторы».

При заполнении можно воспользоваться лекциями или учебниками:

1. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений начального и среднего проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2015,

2. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл. – М., 2010.

3. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2008.

 

	Понятия	Теоретические сведения, формулы	Пример, решение
1	Понятие вектора
2	Правила действий над векторами
3	Компланарные векторы
4	Координаты точки и координаты вектора в пространстве.
5	Скалярное произведение векторов.
6	Угол между векторами

Форма выполнения задания: оформленная таблица.

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.

 

Самостоятельная работа № 13 «Координаты и векторы»

Цель: Проверить закрепленные навыки по теме.

Задание 1: Составить вопросы по теме «Координаты и векторы» (не менее 6 вопросов с ответами).

Форма выполнения задания: вопросы по заданной теме.

 

Задание 2: выполнить домашнюю контрольную работу «Векторы».

Фамилия,группа ___________________________ Вариант 1 1. От точки А отложите вектор: а) равный ; б) сонаправленный ; в) противоположно направленный .   2. ABCD – ромб. Равны ли векторы: а) ____; б) ____; в) ____. 3. Начертите два неколлинеарных вектора  и . Постройте вектор . 4. В параллелограмме АВСD на стороне АВ отмечена точка К так, что АК: КВ=2:1, О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы и через векторы  и . 5. Чему равны координаты вектора 1)  2)   3) 6. Запишите разложение вектора по координатным векторам  и . ___________ 7. Даны два вектора : 1) найдите координаты вектора  ______ 2) будут ли коллинеарными векторы  и  _______ 8. Найдите координаты вектора , если . __________________

Фамилия, группа ___________________________ Вариант 2 1. От точки В отложите вектор: а) равный ; б) сонаправленный ;в) противоположно направленный .      2. ABCD – квадрат. Равны ли векторы: а) ____; б) _____; в) ____. 3. Начертите два неколлинеарных вектора  и . Постройте вектор . 4. В параллелограмме АВСD на стороне ВС отмечена точка Р так, что ВР:РС=3:1, О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы и через векторы  и . 5. Чему равны координаты вектора 1)  2)   3) 6. Запишите разложение вектора по координатным векторам  и . ___________ 7. Даны два вектора : 1) найдите координаты вектора  ______ 2) будут ли коллинеарными векторы  и  _______ 8. Найдите координаты вектора , если . __________________

 

Форма выполнения задания: решение контрольной работы