Скалярное произведение двух векторов. Его физический смысл. Геометрические и алгебраические свойства.

Скалярным произведениемдвух ненулевых векторов называется число,равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

- проекция вектора b на направление вектора a, тогда

Таким образом, скалярное произведение 2х векторов = произведению модуля одного из них на проекцию другого на направление первого.

Геометрические св-ва:

1) необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство 0 их скалярного произведения. Это вытекает из того, что cos90^o=0. В дальнейшем под углом между векторами будем понимать меньший из углов между ними

2) 2 вектора составляют острый (тупой) угол, когда их скалярное произведение положительное (отриц.). Эти утверждения следуют из того, что cos острого угла положителен, а тупого – отрицателен.

Алгебраические св-ва:      

1.

2.  множитель перед любым вектором можно вынести

3.

4. . cos0=1  только в том случае, когда

Физический смысл: . Работа, совершаемая силой F при перемещении l = скалярному произведению

Выражение для скалярного произведения в декартовых координатах.

Пусть вектор ,

. Тогда скалярное произведение (a,b)

Скалярные произведения различных векторов друг на друга = 0.

Т. к. , то, согласно свойству 4 () . В результате имеем:

- скалярное произведение 2х векторов = сумме произведений их соответствующих декартовых координат.

Векторное произведение. Его свойства.

правая –-- левая. с=[a,b] – векторное произведение.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c с общим началом называется правой, если при наблюдении с конца вектора с кратчайший поворот от а к b осуществляется против часовой стрелки.

Если орты декартовой системы координат I, j, k образуют правую тройку, то эта сист. координат называется правой, если левую – то левой.

Векторным произведением двух векторов называется вектор , обладающий следующими свойствами:

1) |c|=|a|∙|b|∙sinj, где j - угол между векторами a и b.

2) вектор c^a и c^b (вектор с^плоскости, где лежат a и b).

3) векторы a, b, c образуют правую тройку.

 Модуль векторного произведения = площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Алгебраические свойства векторного произведения:

1)

2)

3)

4) , т. к. sin0=0

Утверждение: необходимым и достаточным условием коллинеарности 2х векторов является равенство 0 их векторного произведения. Это следует из того, что sin0=0.

 

Выражение для векторного произведения в декартовых координатах.

Пусть вектор , , тогда векторное произведение равно:

Более удобная для запоминания форма:

В справедливости последнего выражения можно убедиться, разлагая его по элементам первой строки.