Миноры и алгебраические дополнения.

Пусть дана матрица размерности m*n, m-строк и n-столбцов. Выберем в этой м-це s-строк и s-столбцов. Элементы данной м-цы, лежащие на пересечении выбранных s-строк и s-столбцов образуют квадратную м-цу порядка s. Определитель этой м-цы называется минором исходной м-цы порядка s.

Пусть дана квадратная м-ца А порядка n. Её минор М′, полученный вычёркиванием из неё выбранных s строк и s столбцов называется дополнительным минором по отношению к минору М, составленному из элементов, лежащих на пересечении выбранных s строк и s столбцов. Рассмотрим матрицу 5 порядка.

 

Эл-ты, лежащие на пересечении выбранных 2 строк и 2столбцов образуют минор 2го порядка.

Элементы матрицы А, остающиеся после вычёркивания выбранных строк и столбцов, тоже образуют минор.

Этот минор называется дополнительным по отношению к минору М. Миноры квадратной м-цы называют также минорами её определителя. Алгебраическим дополнением минора М м-цы А называется дополнительный ему минор, умноженный на (-1)^δ,где δ-это сумма номеров строк и столбцов м-цы А, вошедших в минор М. Алгебраическое дополнение минора М – A_М.

A_М = (-1)^3+4+1+3M'

Каждый элемент квадратной м-цы n-го порядка является её минором 1го порядка. Дополнительный

ему минор M' будет иметь порядок М-1. Алгебраическим дополнением элемента a_ij  матрицы А будет величина A_ij=(-1)^i+jМ′_i+j. М′ - определитель м-цы, который получается из м-цы А вычёркиванием из неё i-той строки и j-го столбца.

Обратная матрица

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к матрице А, если выполняется равенство:

А^-1∙А=А∙А^-1=Е, где Е – единичная матрица.

Очевидно, что произведение в этом равенстве будут существовать, только если матрицы А и А^-1 – квадратные, одинакового порядка, поэтому понятие обратной матрицы применимо только к квадр. матрицам.

Если определитель квадр. матрицы = 0, то эта матрица называется вырожденной, или особенной, если её опр-ль не = 0 - то невырожденной, или неособенной.

Теорема. Любая невырожденная матрица

имеет единственную обратную матрицу, которая может быть найдена по формуле:

(2)

Док-во. По правилу умножения матриц имеем:

Мы использовали теорему о разложении определителя по элементам ряда и аннулирования. Аналогично можно показать, что матрица (2) является единственной обратной матрицей для матрицы А.

 

   

Ранг матрицы.

Рангом матрицы называется наибольший порядок её миноров, отличных от нуля.

Миноры 3 порядка этой матрицы = 0, т. к. они содержат нулевой столбец.

r_A≤2. Все миноры 2 порядка будут содержать либо нулевой столбец, либо 2 пропорциональных столбца, и => тоже все = 0.

r_A=1. Т. к. у этой матрицы есть миноры первого порядка, отличные от 0, то её ранг = 1.

Элементарные преобразования матрицы:

1. умножение любого ряда матрицы на число, отличное от нуля.

2. прибавление к элемента одного ряда матрицы элементов другого её параллельного ряда, умноженных на некоторое число.

3. перемена мест любых 2-х рядов матрицы.

Теорема. Ранг матрицы, полученной из данной путём элементарных преобразований, равен рангу данной матрицы.

Метод окаймляющих миноров нахождения рангов матрицы.

Пусть М – минор порядка k матріцы А. Окаймляющим его минором называется минор порядка k+1 этой матрицы, содержащий внутри себя минор М.

Теорема. Если матрица А имеет минор М порядка k, отличный от нуля, и все миноры, окаймляющие этот минор М, равны нулю, то ранг матрицы А=k.

Метод окаймляющих миноров нахождения ранга состоит в следующем: находят минор данной матрицы, отличный от 0 (1 или 2 порядка), затем вычисляют все окаймляющие миноры. Если они все = 0, то ранг матрицы = порядку этого ненулевого минора. Если среди окаймляющих находится один, отличный от нуля, то далее вычисляют все миноры, окаймляющие данный минор, у которых все окаймляющие миноры = 0. Ранг матрицы будет = порядку этого ненулевого минора.

13. Линейные системы уравнений. Основные определения. Матричная запись.

Линейной системой уравнений наз-ся система вида:

(1)

Матрица, составленная из коэффициентов системы, наз-ся основной матрицей системы. Матрица вида:

А̃= называется расширенной матрицей системы.

Вводят столбцы:

Используя введённые обозначения, линейную систему (1) можно записать в т. н. матричном виде: A∙X=H (2)

Матричное равенство (2) равносильно системе (1) согласно правилам умножения матриц.

Упорядоченное множество чисел С₁, С₂, …, С_n наз-ся решением системы (1), если после подстановки этих чисел уравнение системы вместо неизвестных х₁, х₂, …, х_n каждое из уравнений системы превращается в верное равенство.

Столбец решений:

Если линейная система ур-ий имеет одно единственное решение, эта система наз-ся определенной.

Если система имеет не одно решение, то неопределенной.

Если не имеет решений, то наз. несовместной.

Если имеет хотя бы одно решение, то совместной.

Две системы, имеющие одинак. множ-ва решений (т. е. когда каждое решение одной из них является решением другой), наз. равносильными, или эквивалентными. => 2 несовместные системы эквивалентны.

Элементарные преобразования над системой:

1) умножение любого ур-я на любое число, отличное от 0.

2) прибавление к обеим частям одного из ур-й системы обеих частей другого ур-ния, умноженных на любое число.

3) перемена мест ур-й системы.

Очевидно, что элементарные преобразования над системой соответствуют элементарным преобразованиям над строками её расширенной матрицы.

Очевидно, что в результате элементарных преобразований над системой получается система, равносильная исходной.

Формулы Крамера

Рассмотрим линейную систему из n уравнений относительно n неизвестных:

(3)

Основная матрица этой системы будет квадратной.

Ее определитель наз. определителем системы.

Систему можно записать в матричном виде: A∙X=H (4). Если определитель ∆=detA≠0, то система наз-ся невырожденной. В этом случае основная матрица системы имеет обратную А^-1, кот. может быть найдена по формуле:

 

Умножим обе части матричного равенства (4) слева на матрицу А^-1; получим А^-1АХ= А^-1Н, учитывая, что А^-1А=Е, ЕХ= А^-1Н, а т. к. ЕХ=Х, то имеем Х= А^-1Н (5).

Это равенство даст решение системы (3) в матричной форме.

Перепишем равенство (5) в развернутом виде

Отсюда, по правилу умножения матриц, имеем , где (j=1,2, …,n).

В скобках правой части стоит сумма произведения чисел h₁,h₂,…,h_n на алгебраические дополнения j-столбца матрицы А.

Согласно теореме замещения, это выражение = определителю кот. получается из определителя ∆ заменой в нем j-того столбца на столбец из свободных членов

(6)

Эти формулы наз-ся формулами Крамера, где ∆-определитель системы, ∆j-определитель, который получается из определителя системы заменой в нем j-того столбца на столбец из свободных членов.

Таким образом, мы показали, что любая невырожденная система из n уравнений относительно n неизвестных имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера.

 

Метод Гаусса

(Метод последовательного исключения неизвестных)

Этот метод рассмотрим на примере невырожденной системы 3х уравнений из 3х неизвестных

1. Прямой ход метода Гаусса.

1) Записываем расширенную матрицу, соответствующую этой системе

=>

2) При помощи преобразований эквивалентности, приводим эту матрицу к так называемой трапециевидной форме.

=> =>

2. Обратный ход метода Гаусса.

Записываем линейную систему, соответствующую новой расширенной матрице. Эта система будет равносильна исходной.

      

из системы: х₃=3, подставим во 2е уравнение: 3х₂=3-3∙3=6, х₂= 2, подставим х₂ и х₃ в 1е уравнение: х₁-2+3=2, х₁=1.