Чертеж – международный язык общения техников,

Чертеж – международный язык общения техников,

а начертательная геометрия – грамматика этого языка (чертежа).

Начертательная геометрия изучает ___________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Первый учебник по начертательной геометрии вышел в 1798г. во Франции. Автор Гаспар Монж. В России курс начертательной геометрии начали изучать в 1810г. в С.-Петербурге в Корпусе инженеров путей сообщения (ныне СПбГУПС).

 

Базовые геометрические элементы начертательной геометрии

Т очка – абстрактное математическое понятие. Нульмерный объект (не имеет измерений).

Линия – непрерывное одномерное множество точек (цепочка точек). Непрерывная последовательность положений точки, перемещающейся в пространстве по определенному закону (траектории). Измерение: ___________________________________________________

Поверхность – непрерывное двумерное множество точек. Непрерывная последовательность положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону.

Измерения: _____________________________________________________________________

Проективное пространство

Для устранения неоднородности Евклидова пространства ______________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Евклидово пространство, дополненное несобственными элементами, называют ____________________________

 

 

Метод проецирования

 

Все изображения, построенные на основе метода проецирования, называются ______________________________

 

 

Варианты метода проецирования

Центральное проецирование                                        Параллельное проецирование

                                            

 

Свойства проецирования

Общие свойства

    

 

_________________________ ___________________ _________________________________

_________________________ ___________________ _________________________________

                                                                                         

Инвариантные свойства параллельного проецирования

                                                                           

 

_______________________________                               _______________________________

_______________________________                               _______________________________

                                             

 

_______________________________                               _______________________________

_______________________________                               _______________________________

Ортогональная система плоскостей проекций

Ортогональная система двух плоскостей проекций

П₁ ^ П₂

П₁ – горизонтальная плоскость проекций

П₂ – фронтальная плоскость проекций

I, II, III, IV – четверти пространства

 

Ортогональная система трех плоскостей проекций

 

П₃ – профильная

  П₃ ^ П₁ и П₃ ^ П₂

 

Пространство разделено на 8 частей – октантов

 

Метод Монжа

 

Плоскость П₂  неподвижна.

Плоскость П₁  вращается вокруг линии  пересечения плоскостей (1,2) до совмещения

с плоскостью П₂.

 

Плоскости проекций П₁ и П₂ совмещены в одну общую плоскость.

 

 

 

Все три плоскости проекций совмещены в одну общую плоскость

 

 

Проецирование точки

Проецирование прямой линии

Способы задания прямой на эпюре

Положение прямой относительно плоскости проекций

 

__________________________        __________________________________

                                               _______________________ _________________________

Прямые общего положения

 

Прямая общего положения - это____________________________________________________

________________________________________________________________________________

 

Вывод: характерная особенность эпюра прямой общего положения ___________________

_____________________________________________________________________________

Определение истинной величины отрезка прямой общего положения

 

 

Прямые частного положения

Это прямые__________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Прямые уровня

Это прямые ___________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Горизонталь - это прямая ______________________________________________________

 

Фронталь - это прямая ______________________________________________________

 

Профильная прямая - это прямая _______________________________________________

_____________________________________________________________________________

Вывод: характерная особенность эпюра прямой уровня _____________________________

_____________________________________________________________________________

Проецирующие прямые

Этопрямые - __________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Горизонтально-проецирующая прямая - это прямая _______________________________

_____________________________________________________________________________

Фронтально-проецирующая прямая - это прямая _________________________________

_____________________________________________________________________________

 

                          

Вывод: характерная особенность эпюра проецирующей прямой ______________________

_____________________________________________________________________________

Плоскость общего положения

Это плоскость – ______________________________________________________________

 Вывод: _______________________________________________________________________________________________

 

Проецирующие плоскости

Это плоскости __________________________________________

_____________________________________________________________________________

Горизонтально-проецирующая плоскость _______________________________________

 

Фронтально-проецирующая плоскость _______________________________________

 

Вывод: характерная особенность эпюра проецирующей плоскости ____________________

_____________________________________________________________________________

Плоскости уровня

Этоплоскости ________________________________________________________________

Горизонтальная плоскость ____________________________________________________

 

Фронтальная плоскость _______________________________________________________

 

 

Вывод: характерная особенность эпюра плоскости уровня___________________________

____________________________________________________________________________

Прямая линия в плоскости

 

Прямая принадлежит плоскости, если ______________________________________________

________________________________________________________________________________

В качестве примера плоскость α задаем треугольником АВС. Требуется построить произвольную прямую l, принадлежащую плоскости α.  

Первый вариант l (1,2)                                         Второй вариант l (1, s)

                           

Главные линии плоскости

К главным линиям плоскости относятся прямые уровня - горизонталь, фронталь, профильная прямая, и линии наибольшего наклона плоскости.

Прямые уровня плоскости

Горизонталь плоскости - __________________   Фронталь плоскости - __________________

________________________________________ _____________________________________

________________________________________ _____________________________________

                                    

Точка на плоскости

Точка принадлежит плоскости, если ________________________________________________

________________________________________________________________________________

 

 

Построить проекции произвольной точки А, принадлежащей плоскости Т (m, n)

    Первый вариант l (1,2)                                       Второй вариант l (1, s)               

 

Пересечение плоскостей

Линией пересечения плоскостей является прямая линия.

Построить линию пересечения плоскостей и определить видимость.

 

Если плоскости имеют равные уклоны, то линией их пересечения

является биссектриса угла между горизонталями.

 

Построить линию пересечения плоскостей при условии, что уклоны обеих плоскостей равны.

 

 

 

 

Тема 2. Плоскость.

2.1. Построить недостающие проекции точек, принадлежащих плоскости α (m ∩ n).

2.2. Определить принадлежат или не принадлежат точки А,В,С, D плоскости β (D EFK).

2.3. В плоскости β (m, n) построить горизонталь, удаленную от горизонтальной плоскости проекций П ₁ на 30 мм, и фронталь, удаленную от фронтальной плоскости проекций П ₂ на 20 мм.

2.4. В плоскости a (Δ АВС) построить проекции точки D, удаленной от плоскости П₁ на расстояние 25 мм и от плоскости П₂ – на 15 мм

                                                                                            

         

 

                                                        

2.5. Построить недостающую проекцию четырехугольника АВС D, принадлежащего плоскости α (m, n).

2.6. Определить точку пересечения прямой АВ с фронтальной плоскостью проекций П ₂.

                                                       

 

 

 

2.7. Определить видимость всех элементов, и какой геометрический объект изображен.

2.8. Определить точку пересечения прямой m с плоскостью треугольника АВС. Определить видимость всех участков прямой m.

2.9. Определить угол наклона плоскости α (ABCD) к горизонтальной плоскости проекций П₁.

2.10. Построить линию пересечения плоскостей γ (ABCD) и δ (EF) и определить видимость

.

Многогранники

 

Многогранником называется пространственная фигура, ограниченная со всех сторон плоскими многоугольниками.

Выпуклые многогранники

У выпуклого многогранника все грани расположены по одну сторону от плоскости любой из граней

 

У правильного выпуклого многогранника («тела Платона») все грани равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

 

   Гексаэдр   Тетраэдр           Октаэдр         Додекаэдр            Икосаэдр

Названия правильных многогранников греческие. Каждое название состоит из двух частей: первая определяет количество граней («Тетра»- четыре, «Гекса» - шесть, «Окто» - восемь, «Додека» - двенадцать, «Икоси» - двадцать), вторая – «Эдра» - грань.

 

Невыпуклые многогранники

У невыпуклого многогранника грани могут располагаться по разные стороны от плоскости любой из граней.

 

Поверхности

Определитель поверхности

Это совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность.

Ф{(Г)(А)}

Определитель состоит из двух частей:

Геометрическая (Г) – перечень геометрических элементов, участвующих в образовании поверхности (образующая и другие точки, линии, поверхности).

Алгоритмическая (А) – закон перемещения и изменения формы образующей.

 

Если образующая является прямой линией, которую можно однозначно задать двумя точками или точкой и направлением и графически не изображать, в отличие от кривой линии, то ее обозначение выносят за пределы геометрической части определителя

Ф{g(Г)(А)}

Пример

Ф - прямой цилиндроид (группа поверхностей Каталана),

Ф { g(d1,d2,Σ)(g∩d1, g∩d2, gIIΣ) }

g – образующая (прямая линия),

d1, d2 – направляющие,

Σ – направляющая плоскость (плоскость параллелизма)

 

 

 

Каркас поверхности

Это множество точек и линий, определяющих поверхность

                                                                                                                  

     Ф { a ⁱ, b ^j }

  a ⁱ= Ф ∩Гⁱ, i =1,2,3,…,m

  b ^j= Ф ∩T^j, j =1,2,3,…,n

 

Очерк поверхности

Это линия пересечения плоскости проекций с проецирующей поверхностью, касательной к заданной поверхности и ее обертывающей.

 

 

Ω ^ P ₁; Ω Ç F = d; Ω ∩ П₁ = d ₁ - очерк Ф на П₁

Δ ^ P ₂; Δ Ç F = g ¹, g ²; Δ ∩ П₂ = g ¹ ₂, g ² ₂ - очерк Ф на П₂

Точка на поверхности

 

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, принадлежащей этой поверхности

А Î Ф Û А Î l, l Ì Ф

Линия l должна на проекциях иметь наиболее простую геометрическую форму: прямая

или окружность (по возможности).

     Точка на линейчатой поверхности               Точка на поверхности вращения                

 

       

 

Линия на поверхности

 

Линия принадлежит поверхности, если все множество ее точек принадлежит этой поверхности.

Следовательно, чтобы построить линию на поверхности, необходимо представить линию, как множество точек, и построить каждую точку этого множества, используя условие принадлежности точки поверхности.

Тело вращения с вырезом

Тень от прямой уровня

 

 

Если прямая параллельна плоскости (в т. ч. плоскости проекций), то тень от нее на этой плоскости параллельна самой прямой или ее ортогональной проекции на эту же плоскость.

________________________________________________________________________________

 

                

 

1. Определяем положение действительной тени отрезка АВ.
2. Так как высота обеих концевых точек отрезка больше глубины, то действительная тень от отрезка АВ будет полностью лежать на ___________________ плоскости проекций.
3. Строим действительную тень от точка А.
4. Так как АВ параллельна ___________________ плоскости проекций, то ее тень параллельна ее _________________ проекции и равна по величине

 

(АВ || П ₂ Þ А'₂В'₂ || А₂В₂).

 

Тень проецирующей прямой

 

Если прямая перпендикулярна плоскости (в т. ч. плоскости проекций), то тень от нее на этой плоскости параллельна ортогональной проекции светового луча на эту плоскость.

________________________________________________________________________________

 

 

В первом примере отрезок АВ упирается концом ___ в горизонтальную плоскость проекций. Т. е. точка ___ принадлежит горизонтальной плоскости проекций и, следовательно, будет совпадать со своей проекцией и тенью на эту плоскость (__≡___≡___).

Во втором примере отрезок АВ упирается концом ___ во фронтальную плоскость проекций. Т. е. точка ___ принадлежит фронтальной плоскости проекций и, следовательно, будет совпадать со своей проекцией и тенью на эту плоскость (__≡___≡___).

У точки А в обоих случаях глубина больше чем высота (А ₁ х ₁₂ > А ₂ х ₁₂). Следовательно, действительная тень от точки А будет на _____________________ плоскости проекций.

Т.е. в первом примере тень от отрезка АВ будет полностью лежать на ________________ плоскости проекций, а во втором – на __________ плоскостях проекций (тень с изломом на оси х ₁₂).

 

Тень плоской фигуры

 

Плоская фигура представляет собой отсек плоскости (плоской поверхности), ограниченной со всех сторон линиями.

В общем случае одна сторона плоскости фигуры освещена, а другая находится в собственной тени. Поэтому контур самой фигуры одновременно является и контуром собственной тени.

Построение падающей тени от плоской фигуры сводится к построению падающих теней от линий, ограничивающих саму фигуру.

 

 

Построение тени трапеции.

 

Все точки плоской фигуры имеют высоту больше чем глубина. Следовательно, действительная тень от всей фигуры будет полностью лежать на фронтальной плоскости проекций.

Фигура примыкает к фронтальной плоскости стороной 1-4. Следовательно, тень на фронтальную плоскость будут давать только три стороны 1-2, 2-3 и 3-4.

Стороны 1-2 и 3-4 точками 1 и 4 упираются во фронтальную плоскость проекций. Следовательно, эти точки одновременно являются их тенями на этой же плоскости (1₂ ≡1 '₂; 4₂ ≡4 '₂), и поэтому необходимо построить только тени от точек 2 и 3.

Сторона 2-3 параллельна фронтальной плоскости, и тень от нее параллельна ее фронтальной проекции и равна по величине.

Следовательно, практически все сводится к построению тени от точки 2 или 3.

Построение тени от круга

 

 

В первом примере круг расположен параллельно фронтальной плоскости. Следовательно, тень от круга на этой плоскости конгруэнтна самой фигуре, и поэтому построение тени сводится к построению «тени на этой плоскости от центра круга» (тени от точки О).

Во втором примере взята половина круга, которая расположена перпендикулярно фронтальной плоскости и примыкает к нему. Сравнивая высоту круга с его радиусом, определяем, что высота больше. Следовательно, действительная тень от круга полностью ложится на фронтальную плоскость проекций. Построение тени от круга сводится к построению тени от нескольких точек, принадлежащих окружности, ограничивающей данную фигуру.

Рассматриваются два варианта построения.

 

    

 

Тени от геометрических тел

Тень параллелепипеда

 

       

 

В собственной тени две грани: BCGF и CDHG.

Граница (контур) собственной тени четыре ребра: FB, DC, CD, DH – отрезки прямых частного положения.

 

Тень цилиндра

                  

 

Для определения контура собственной тени прямого кругового цилиндра проводятся две горизонтально-проецирующие лучевые плоскости α и β, касательные к поверхности цилиндра.

Линиями касания этих плоскостей являются две образующие AB и CD.

Контур (границу) собственной тени составляют образующие AB и CD и полуокружность B321C верхнего основания.

 

Тень конуса

 

Для определения контура собственной тени прямого кругового конуса проводятся две лучевые плоскости α и β, касательные к поверхности конуса. Линиями касания этих плоскостей являются две образующие FA и FD. Контур (границу) собственной тени составляют две образующие FA и FD  и часть окружности основания.

 

 

 

 

Тема 5. Тени в ортогональных проекциях

 

5.1. Построить падающую тень от отрезка АВ.

5.2. Построить падающие тени от отрезка АВ и плоской фигуры DCEL

.

                      

 

5.3. Построить падающие тени от отрезка АВ и плоской фигуры (кольца).

5.4. Построить собственную и падающую тени конуса.

 

 

    

Способы построения теней

Способ лучевых сечений

Этот способ является общим, универсальным и может быть использован как для построения контуров собственных, так и падающих теней. Имеет серьезный недостаток – в некоторых случаях требует значительной графической работы, связанной с вычерчиванием кривых.

Принцип способа заключается в построении сечения поверхности лучевой плоскостью и определению точки пересечения светового луча с построенным сечением.

Тень на лестнице

 

 

Способ обратных лучей

 

Способ обратных лучей применяется при построении падающей тени от одного тела на другое.

Принцип способа заключается в построении падающих теней от двух линий (прямых или кривых) на одной какой-либо плоскости. Из точки пересечения построенных теней проводится световой луч в обратном направлении (обратный луч) до пересечения с первой встречной линией. Полученная точка будет падающей тенью от одной линии на другой.

 

 

 

Тень на валике (торе)

 

 

Тема 5 (продолжение). Тени в ортогональных проекциях

 

5.5. Определить контур собственной тени и построить падающие тени от заданных объектов.

            

 

5.6. Построить собственные и падающие тени на трубе и скате крыши.

 

 

 

5.7. Построить падающую тень от прямой АВ. Построить падающую и собственную тень тела вращения.

 

Тень козырька

 

У представленного козырька при выбранном направлении освещения в собственной тени находятся две плоскости – __________________________

Граница собственной тени состоит из __ отрезков (ребер) ______________________________

Все выделенные отрезки (ребра) расположены в ____________ положении по отношению к стене (вертикальной плоскости). Поэтому построение тени от козырька сводится к построению теней от отрезков прямых частного положения (см. предыдущие примеры).

 

Тень в плоской нише

        

 

 

Тень на колонне

Тень трубы на крыше

 

 

Тень от кронштейна

 

 

Тема 5 (продолжение). Тени в ортогональных проекциях

 

5.8. Построить тени в закрытых нишах.

 

 

 

5.9. Построить собственные и падающие тени на фрагментах фасадов зданий (колонн).

 

 

5.10. Построить тени на фрагменте фасада здания.

 

 

 

5.11. Построить собственные и падающие тени на фрагменте фасада здания.

 

  

 

Чертеж – международный язык общения техников,

а начертательная геометрия – грамматика этого языка (чертежа).

Начертательная геометрия изучает ___________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Первый учебник по начертательной геометрии вышел в 1798г. во Франции. Автор Гаспар Монж. В России курс начертательной геометрии начали изучать в 1810г. в С.-Петербурге в Корпусе инженеров путей сообщения (ныне СПбГУПС).