Элементы теории массового обслуживания

       Одним из разделов теории вероятности, получившим большое развитие и практическое применение является теория массового обслуживания. Она направлена на решение задач организации и планирования процессов, в которых с одной стороны постоянно в случайные (или неслучайные) промежутки времени возникает заявка выполнения каких-либо работ, услуг, условий и т.д., а с другой происходит постоянное удовлетворение этих заявок, т.е. их выполнение.

       Объектом изучения теории массового обслуживания (ТМО) является ситуация, когда имеется необходимость в обслуживании большого количества однородных заявок, которое может быть обеспечено одним и тем же средством. Заявка – это запрос на удовлетворение какой-либо потребности со стороны различных объектов (н/п появление автомобиля в сечении дороги, накопление очереди на выполнение работ (мойка, ремонт)). Удовлетворение этой потребности называется обслуживанием.

       Средства, которые осуществляют обслуживание, называются обслуживающими аппаратами. Совокупность однородных обслуживающих аппаратов называется обслуживающей системой.

Общая схема ТМО автомобилей.

       В большинстве задач массового обслуживания входящий поток зависит не от воли человека, а от ряда случайных факторов, что также относится и к времени обслуживания. Поэтому эти величины обычно описываются с помощью вероятностных характеристик.

       От воли человека зависит организация системы обслуживания: каким образом распределить поступающие заявки между обслуживающими аппаратами, какое количество этих аппаратов необходимо выделить и каким образом их сгруппировать.

       Целью изучения всех процессов МО является обеспечение эффективной работы, которая в каждом случае имеет свой конкретный смысл. Она должна определяться не качественно, а количественно, что требует математического представления каждого процесса МО. Так случайный процесс поступления заявок описывается некоторой функцией х(t), определяющее число поступающих в систему заявок за промежуток времени (0;t). Н/п после начала наблюдений за ДД заявка может поступить не сразу, а через некоторый промежуток времени, следовательно в этом промежутке может быть (0;к) заявок. К – максимальное количество заявок.

       В теории массового обслуживания, как правило, рассматривается простейший поток заявок, т.е обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствий.

       Стационарность потока состоит в том, что вероятность поступления определенного количества заявок в течение определенного промежутка времени зависит только от длины этого промежутка.

       Ординарным потоком является тот, при котором невозможно или практически невозможно одновременное появление двух или более заявок.

       Отсутствие последствий состоит в том, что поступление в данный момент заявок не зависит от того когда и сколько заявок поступило до этого момента.

       Если имеется простейший поток заявок, то их число за промежуток времени (0;t) распределяется по закону Пуассона:

,

где вероятность поступления к заявок за время от 0 до t;

       параметр потока (среднее число заявок за единицу времени).

Пример. Необходимо организовать стоянку автомобилей такси. Считается, что простой автомобиля такси на стоянке не должен превышать 10 минут. Наблюдения показали, что в среднем за 10 минут к стоянке подходят 3 пассажира для поездки в различных направлениях. Определить какое количество такси должно стоять на стоянке.

t=1, так как приходит 3 пассажира за 10 минут и такси не должно стоять не более 10 мин.

       Вывод: из расчетов видно, что наибольшая вероятность соответствует появлению двух или трех пассажиров, так как эти вероятности одинаковы можно организовать стоянку на два автомобиля.

       Не меньшую роль при решении задач массового обслуживания (МО) играет время обслуживания, которое также является СВ. Без специального обследования нельзя заранее сказать какому закону распределения будет подчиняться время обслуживания. Во многих практических случаях оно подчиняется показательному закону распределения:

где v – величина обратная времени обслуживания, то есть 1/v – является средним временем обслуживания.

       Функция f(t) показывает какова вероятность того, что время обслуживания не превысит некоторую величину t.

       ТМО в ее математической части занята выводом расчетных формул для тех иди иных характеристик функционирования систем МО.

       Задача. На автомагистрали проектируется мойка автомобилей индивидуального пользования. Требуется определить какое количество моечных постов необходимо иметь на этой станции, если известно, что станция будет работать 16 часов в сутки. В среднем за каждый час по магистрали проходит 12 автомобилей, нуждающихся в мойке. Среднее время мойки 1-го автомобиля 10 минут. Оплата за мойку 1-го автомобиля 100 рублей, а содержание одного поста в сутки составляет 3300 рублей.

       Обычно при решении такой задачи рассуждают следующим образом: мойка 1-го автомобиля длится 10 минут, значит, за 1 час на 1-м посту будет обслужено 6 автомобилей, так как необходимо обслужить 12 автомобилей, необходимо иметь 2 мойки.

       Однако при таком рассуждении не учитывается случайный характер процесса обслуживания. Автомобили могут следовать по магистрали не строго через каждые 5 минут, и время их мойки в зависимости от загрязнения может колебаться около 10 минут. Если в момент прибытия автомобиля на мойку все моечные посты будут заняты, то его владелец не будет ждать и станция потеряет клиента.

       Однако при проектировании можно предусмотреть любое количество моечных постов, и тогда есть большая вероятность, что каждый автомобиль будет обслужен. Таким образом описанный выше пример относится к типу систем МО с неограниченным числом аппаратов обслуживания и возможными потерями заявок.

       Критерием качества функционирования такого типа систем иногда принимается вероятность занятости всех аппаратов (вероятность отказа в обслуживании) в момент поступления очередной заявки:

где n – число обслуживающих аппаратов;

m – количество заявок на обслуживание, n=m, так как каждая заявка должна обслуживаться немедленно.

n	Pn	Количество обслуженных автомобилей	Доход	Расход на содержание постов	Прибыль (убыток)
2	0,4	115	11500	6600	4900
3	0,21	151	15100	9900	5200
4	0,094	174	17400	13200	4200
5	0,037	184	18400	16500	1900
6	0,015	190	19000	19800	-800

       Расчеты показали, что с экономической точки зрения целесообразно иметь 3 моечных поста.

       В приведенном примере рассмотрим один тип систем массового обслуживания с неограниченным числом аппаратов и с потерями заявок на обслуживание. В ТМО рассматриваются и другие типы систем обслуживания заявок.

       Если заранее известно максимальное число одновременно возможных заявок такая система относится к системам МО с ограниченным входящим потоком. В ряде случаев могут быть системы МО с ограниченным числом аппаратов обслуживания (на заправке 4, 4*2, 4*4).

       Иногда в системе МО необходимо учитывать приоритетность обслуживания определенных заявок, тогда эта система относится к типу систем с приоритетами (н/п обслуживание автобусов впред, чем л/а).

       Критерием качества функционирования систем МО с неограниченным числом аппаратов и потерями заявок также может служить среднее число занятых обслуживанием аппаратов, что соответствует в задаче средней занятости моечных постов:

где M – математическое ожидание (среднее число одновременно занятых аппаратов),

(1-Р_n) – вероятность того, что все аппараты свободны;

n – число, обслуживающих аппаратов;

M/n – средняя загруженность 1-го поста.

n	M	M/n
2	1,2	0,6
3	1,58	0,527
4	1,812	0,453
5	1,96	0,394

       Из расчета видно, что при двух постах будет обеспечена их максимальная загрузка. Однако максимальная загрузка оборудования не гарантирует получение максимального экономического эффекта.

       Для всех указанных ранее типов систем разработаны соответствующие методы определения различных показателей, характеризующих процесс обслуживания, что дает возможность находить наиболее эффективную организацию этих процессов. При этом выбор показателей имеет важнейшее значение и производится в каждом конкретном случае в зависимости от типа системы МО и целей, которые преследуются.

       Наиболее часто в качестве критериев – показателей эффективности работы СМО используются:

1) среднее время ожидания начала обслуживания заявки или время нахождения ее в системе обслуживания(очередь перед перекрестком);

2) средний размер очереди на обслуживание;

3) вероятность того, что в системе будет находиться определенное количество заявок (в распределении Пуассона в курсовом х)

4) среднее число аппаратов занятых или свободных от обслуживания и т.д.

Однако наиболее целесообразно использовать экономические показатели, которые дают обобщенную характеристику производственных процессов.

       При решении задач с помощью методов ТМО учитываются два случайных фактора:

- время поступления заявок в систему;

- время обслуживания каждой заявки.

       Иногда при планировании и организации производственных процессов необходимо учитывать значительно большее число случайных факторов. В этом случае хорошие результаты могут быть получены с помощью метода статистического моделирования на ЭВМ.