Детерминированные модели (ДМ).

       Простейшей математической моделью описывающей поток автомобилей является»упрощённая динамическая модель». Её применяют для определения максимально возможной интенсивности движения по одной полосе дороги, при известной скорости потока

где А – кэфициэнт размерности;

динамический габарит; При выражении скорости км/ч, а  в метрах приведенная формула является выражением для определения пропускной способности полосы:

 

       Данная динамическая модель составлена на основании двух упрощающих допущений:

1).скорость всех транспортных единиц в потоке одинакова;

2).транспортные средства однотипны (имеют одинаковые динамические габариты).

Динамический габарит автомобиля определяется длинной T.G плюс дистанция безопасности и плюс зазор до остановившегося впереди автомобиля (1-3 м):

       Существует три принимаемых разными авторами подхода и определению динамического габарита:

1).При расчёте минимальной теоретической дистанции исходят из абсолютно равных тормозных свойств пары автомобилей и учитывают только время реакции ведомого водителя: .

       Тогда учение:  приобретает линейный характер. В этом случае возможная интенсивность транспортного потока не имеет приделы по мере увеличения скорости, одного это не соответствует реальным характеристикам потока и приводит к завышению возможной интенсивности.

2).При расчете на «полную безопасность» исходит из того, что дистанция d должна быть равна полному остановочному пути заднего автомобиля. Тогда динамический габарит:

.

       В этой упрощённой формуле не выделен отрезок проходимый за время нарастания замедления, а учитывается только установившееся замедление ja. В этом случае уравнение приобретает вид квадратичной функции, а интенсивность имеет предел при определённом значении скорости.

3).Наиболее реальный подход, основанный на той предпосылке, что при расчёте дистанции безопасности d необходимо учитывать разницу тормозных путей или замедлений автомобилей, а так же то обстоятельство, что «лидер» в процессе торможения так же перемещается на расстояние равное своему тормозному пути. Тогда дистанция безопасности будет равна,

 

                             

       Если принять время реакции водителя tp=1с, а разность максимальных замедлений на сухом асфальте при экстренном торможении однотипных легковых автомобилей с учётом эксплутационного состояния тормозной системы в допустимых нормативами пределах около 2м/с , то динамический габарит выразится формулой:

       Изложенный метод приемлем для ограниченных по составу и скорости транспортного потока условий, расчёт пропускной способности с учётом последнего выражения для непрерывного потока типичных легковых автомобилей даёт расчётное значение пропускной способности потока Рп:

        при скорости .

       Безопасность движения в такой плотной колонне с точки зрения психологического состояния водителя может быть обеспечена лишь при ограниченных скоростях движения выше 80км/ч время реакции водителя может достичь 2с, кроме того, из-за несовершенства тормозных систем автомобилей даже на дорогах с высоким коэфициэнтом сцепления при экстренном торможении автомобилей не гарантированно сохранение их устойчивого прямолинейного движения. Поэтому третий подход может быть рекомендован для скоростей не выше 80км/ч.

 

В зависимости от подхода к изучению характеристик дорожного движения совокупность разработанных математических моделей делится на макро и микро модели транспортных потоков. В результате изучения транспортных потоков высокой плотности и специальных экспериментов была предложена теория, следования за лидером: математическим выражением которой является микроскопическая модель транспортного потока.

       Микроскопической её называют потому, что она рассматривает элемент потока – пару следующих друг за другом ТС. Особенностью этой модели является то, что в ней отражены закономерности комплекса ВАДС. В частности психофизиологический аспект управления автомобилей. Он заключается в том, что при движении в плотном транспортном потоке действия водителя обусловлены изменениями скорости лидирующего автомобиля и дистанции до него.

       Экспериментальная проверка основного уравнения осуществлялась методом натурного имитационного моделирования. Дистанцию между автомобилями определяли киносъемкой или специальной амортизирующей лебедкой. Однако такой эксперимент уже в своей постановке содержит некоторую искусственность, искажающую реальный процесс (специальный подбор водителей, определенный режим движения и т.д.). Дорожные условия и общая транспортная ситуация рассматриваются в данной модели не в качестве отдельных параметров, а как проявляющиеся в значении скорости движения. Уравнения теории следования за лидером описывает взаимодействие между автомобилями с учетом реакции водителя на изменения в транспортном потоке, называемые стимулами.

Координаты скорости:                                                           

Ускорения:                                                                             .

       Реакция на определенный стимул равна ускорению или замедлению движения ведомого автомобиля. Стимул принимается равным разности скоростей автомобилей:

       «Чувствительность» - обратно пропорциональна дистанции между автомобилями и выражается при помощи коэффициента пропорциональности – а:

       С учетом неизбежного запаздывания реакции водителя в соответствии с принятыми обозначениями можно записать уравнение теории следования за лидером:

 основное уравнение теории следования за лидером.

       В результате микроскопического подхода разработана динамическая модель движения плотного потока автомобилей, описывающая динамический габарит. Развитие этой модели привело к более сложной динамической теории следования за лидером, которая описывает процесс движения группы автомобилей при изменении скорости движения лидера. Взаимное расположение лидера и ведомого автомобиля можно выразить зависимостью:

где расстояние между автомобилями в условиях затора, длина ведомого автомобиля, постоянная пропорциональности, имеющая размерность времени и характеризующая чувствительность.

       Дифференцируя уравнение по времени, получим:

       Откуда следует:

 - уравнение первого основного закона для группы автомобилей теории «следования за лидером».

       Ускорение ведомого автомобиля в любой момент времени прямо пропорционально разности скоростей ведущего и ведомого автомобилей. Принимая величину Т пропорциональной расстоянию между автомобилями d (T≈d), можем записать:

       В таком виде мы получаем второе основное уравнение теории «следования за лидером». Ускорение ведомого автомобиля в любой момент времени Т прямо пропорционально разности скоростей ведущего и ведомого автомобилей и обратно пропорционально расстоянию между ними.

       Г. И. Клинковштейн предложил уравнение теории следования за лидером в таком виде:

где а – константа пропорциональности, имеющая размерность скорости, запаздывание реакции водителя,  - длина расчетного автомобиля.

       В результате наблюдений установлены значения коэффициента пропорциональности а для различных типов автомобилей:

 - для легковых среднего класса а=7,7; для грузовых автомобилей средней грузоподъемности а=6,4; для городских автобусов а=5,9; для автопоездов и троллейбусов а=4,4.

       Приведенные динамические модели построены в предположении, что обгоны отсутствуют. В результате макроскопического подхода устанавливаются зависимости между основными характеристиками транспортного потока: интенсивностью, плотностью и скоростью. Основой для вывода таких зависимостей являются экспериментальные данные, анализ граничных условий, физические аналоги. При макромоделировании допускают, что движение однородно и допускают и исследуют средние характеристики транспортного потока.

       Примером макромодели транспортного потока является уравнение состояния потока автомобилей:

       На основании экспериментальных данных в 1934 году появилась первая модель Гриншилдса для однорядного потока. Она выражает зависимость между скоростью и плотностью транспортного потока. Лежащая в ее основе гипотеза гласит: когда плотность (степень насыщения дороги автомобилями) растет, водители снижают скорость для обеспечения безопасной дистанции, что математически записывается выражением:

 или  - модель Гриншилдса.

       Гриншилдсом было установлено, что максимальная пропускная способность имеет место при:

, .

       Эта модель предполагает линейную зависимость между скоростью и плотностью потока. Экспериментальные наблюдения показали, что эта зависимость нелинейна. Другие модели учитывают криволинейный характер зависимости в диапазонах малых и высоких плотностей потока. Д. Дрю предложил математическую модель ТП в предположении, что уравнение состояния дифференцируется по плотности:

       При q=q₀, получаем .

 или , , .

       Можно построить модель, в которой уравнение Гриншилдса является частным случаем. В общем случае, когда плотность повышается, водители снижают скорость и наоборот. Тогда:

, при п=-1,

 при п не равном 1,

, при п=1.

       Такая модель впервые была получена Гринбергом и лучше воспроизводит экспериментальную зависимость между скоростью и плотностью.

       Модель Лайтхилла-Уизема позволила перейти от статистических функциональных зависимостей параметров транспортного потока к описанию их динамической связи по времени и координате. Этот переход был достигнут фактически формальным применением гидродинамического формализма. Таким образом, транспортный поток в их модели был представлен как непрерывный с плотностью , равной числу машин на единицу длины и расходом , равным числу машин, пересекающих черту за единицу времени. Тогда скорость потока равна:

,

то есть средняя скорость является детерминированной функцией плотности .

       На участке дороги без съездов – въездов количество машин сохраняется:

.

       Данное уравнение можно обобщить и на участок дороги с пересечениями:

где обозначает скорость притока/оттока автомобилей.

       Два последних уравнения образуют полную систему. Произведя подстановку получим:

где  скорость распространения возмущений.