Лекция № 12. Изучение взаимосвязи между экономическими явлениями.

Лекция № 12. Изучение взаимосвязи между экономическими явлениями.

В данной теме вы познакомитесь с типами связи между социально-экономическими явлениями, методами оценки тесноты связи, методами построения уравнений связи, позволяющих прогнозировать изменения характеристик одного явления, используя значения характеристик явления корреляционно с ним связанного.

План лекции.

Понятие о статистической и корреляционной связи. Задачи и ограничения корреляционно-регрессионного метода.

Методы выявления и оценки корреляционной связи.

Задачи регрессионного анализа.

 

 

Методы выявления и оценки корреляционной связи

 

Методы оценки корреляционной связи

В расчетной части корреляционного анализа необходимо выбрать наиболее подходящие для каждой пары признаков показатели корреляции. При выборе показателей корреляции следует проанализировать все множество основных показателей с точки зрения их применимости и целесообразности для конкретной пары признаков.

Основные показатели корреляции:

1) коэффициент корреляции;

2) эмпирическое корреляционное отношение;

3) коэффициент детерминации;

4) коэффициент Спирмена;

5) коэффициент Кендалла;

6) коэффициент Фехнера;

 

Каждый из перечисленных показателей имеет определенное назначение, область

применения, расчетную формулу и особенности интерпретации числовых значений. Первые три показателя называются параметрическими и предназначены для оценки тесноты связи между количественными признаками. Следующие показатели называются непараметрическими и предназначены для оценки тесноты связи между описательными признаками.

Рассмотрим последовательно особенности каждого показателя.

Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции

- применяется для оценки тесноты связи между количественными признаками;

- измеряет только линейную связь;

- диапазон изменения показателя [−1;+1];

- чем ближе по абсолютной величине значение показателя к 1, тем теснее связь между признаками;

- знак значения показателя указывает на направление связи: если r >0,

то связь прямая, если  r <0, то связь обратная.

Коэффициент корреляции или линейный коэффициент корреляции – самый популярный измеритель тесноты линейной связи между двумя количественными признаками x и y,  применяется для оценки тесноты связи между количественными признаками; измеряет только линейную связь.

Линейный коэффициент корреляции r представляет собой среднюю величину из произведений нормированных отклонений для x и у:

   (12.1.) или           . (12.2.)

Числитель формулы (12.2), деленный на n, представляющий собой среднее произведение отклонений значений двух признаков от их средних значений, называется коэффициентом ковариации – это мера совместной вариации факторного x и результативного y признаков:

                 .  

Недостатком коэффициента ковариации является то, что он не нормирован, в отличие от линейного коэффициента корреляции. Очевидно, что линейный коэффициент корреляции представляет собой частное от деления ковариации между х и у на произведение их средних квадратических отклонений: 

.    (12.3)

Путем несложных математических преобразований можно получить и другие модификации формулы линейного коэффициента корреляции, например:

                   , (12.4)      , (12.5)

, (12.6) .(12.7)

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения от –1 до +1, причем знак определяется в ходе решения, всякое промежуточное значение r от 0 до 1 характеризует степень приближения корреляционной связи между х и у к функциональной. Существует эмпирическое правило (шкала Чэддока) для оценки тесноты связи, представленное в таблице 12.3.

Таблица 12.3. Шкала Чэддока

| r |	Теснота связи
менее 0,1	отсутствует линейная связь
0,1 ÷ 0,3	слабая
0,3 ÷ 0,5	умеренная
0,5 ÷ 0,7	заметная
более 0,7	сильная (тесная)

Таким образом, коэффициент корреляции при линейной зависимости служит как мерой тесноты связи, так и показателем, характеризующим степень приближения корреляционной зависимости между х и у к линейной. Поэтому близость значения r к 0 в одних случаях может означать отсутствие связи между х и у, а в других свидетельствовать о том, что зависимость не линейная.

Проверка коэффициента корреляции на значимость (существенность). Интерпретируя значение коэффициента корреляции, следует иметь в виду, что он рассчитан для ограниченного числа наблюдений и подвержен случайным колебаниям, как и сами значения x и y, на основе которых он рассчитан. Другими словами, как любой выборочный показатель, он содержит случайную ошибку и не всегда однозначно отражает действительно реальную связь между изучаемыми показателями. Для того, чтобы оценить существенность (значимость) самого r и, соответственно, реальность измеряемой связи между х и у, необходимо рассчитать среднюю квадратическую ошибку коэффициента корреляции σ _r. Оценка существенности (значимости) r основана на сопоставлении значения r с его средней квадратической ошибкой: .

Существуют некоторые особенности расчета σ _r в зависимости от числа наблюдений (объема выборки) n.

1.Если число наблюдений достаточно велико (n >30), то σ _r рассчитывается по формуле:

.  (12.8.)

Обычно, если >3, то r считается значимым (существенным), а связь – реальной. Задавшись определенной вероятностью, можно определить доверительный интервал (), где t – коэффициент доверия, рассчитываемый по интегралу Лапласа.

Если число наблюдений небольшое (n <30), то σ _r рассчитывается по формуле:

, (12.9)

а значимость r проверяется на основе t- критерия Стьюдента, для чего определяется расчетное значение критерия по формуле (11.10.) и сопоставляется c t_ТАБЛ.

. (12.10)

Табличное значение t_ТАБЛ находится по таблице распределения t -критерия Стьюдента при уровне значимости α=1-β и числе степеней свободы ν= n–2. Если t_РАСЧ> t_{ТАБЛ ,}то r считается значимым, а связь между х и у – реальной. В противном случае (t_РАСЧ< t_ТАБЛ) считается, что связь между х и у отсутствует, и значение r, отличное от нуля, получено случайно.

 

Коэффициент детерминации

Измерить тесноту связи между коррелируемыми величинами – значит определить, насколько вариация результативного признака обусловлена вариацией факторного (факторных) признака. Ранее были рассмотрены показатели, с помощью которых можно выявить наличие корреляционной связи между двумя признаками x и y и измерить тесноту этой связи. Наряду с ними существует универсальный показатель – корреляционное отношение, применимое ко всем случаям корреляционной зависимости независимо от формы этой связи. Следует различать эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение. Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается на основе правила сложения дисперсий как корень квадратный из отношения межгрупповой дисперсии к общей дисперсии, т.е.

. (12.13)

Теоретическое корреляционное отношение определяется на основе выравненных (теоретических) значений результативного признака , рассчитанных по уравнению регрессии. Теоретическое корреляционное отношение  представляет собой относительную величину, получаемую в результате сравнения среднего квадратического отклонения в ряду теоретических значений результативного признака со средним квадратическим отклонением в ряду эмпирических значений. Если обозначить дисперсию эмпирического ряда игреков через , а теоретического ряда – , то каждая из них выразится формулами

,        .

Сравнивая вторую дисперсию с первой, получим теоретический коэффициент детерминации: , (12.14) который показывает, какую долю в общей дисперсии результативного признака занимает дисперсия, выражающая влияние вариации фактора x на вариацию y (или  показывает долю вариации результативного признака, обусловленную вариацией факторного признака).

 Извлекая корень квадратный из коэффициента детерминации, получаем теоретическое корреляционное отношение

. (12.15)

Оно может находиться в пределах от 0 до 1, чем ближе его значение к 1, тем теснее связь между вариацией y и x. Корреляционное отношение применимо как для парной, так и для множественной корреляции независимо от формы связи. В этом смысле его можно назвать универсальным показателем тесноты связи. При линейной зависимости .

       Покажем расчет  на условном примере. Исходные данные и расчет дополнительных показателей приведен в таблице 12.4.

Таблица 12.4. Исходные данные и вспомогательные расчеты для нахождения теоретического корреляционного отношения

В данном примере общая средняя урожайность:  (ц/га).

Общая дисперсия: =30/5=6,

факторная дисперсия: =29,46/5=5,892.

Отсюда теоретическое корреляционное отношение: =0,99. Данное значение характеризует очень тесную зависимость изменения урожайности от изменения количества внесенных удобрений. В нашем примере незначительные расхождения (30 29,46+0,46 – это правило сложения дисперсий) объясняются округлением значений параметров уравнения регрессии и самих .

Вопросы для обсуждения

1. Основные группы социально – экономических взаимосвязей, их характеристика.

2. Корреляционные связи, их характер, формы и задачи статистического изучения.

3. В чем состоит отличие между корреляционной и функциональной связью?

4. Какие основные проблемы решает исследователь при изучении корреляционной зависимости?

5. Какие показатели являются мерой тесноты связи между двумя признаками?

6.Выбор уравнения регрессии и расчет его параметров.

7.Показатели тесноты связи, их расчет и применение в анализе.

8. Как оценить существенность линейного коэффициента корреляции?

9. В чем состоит значение уравнения регрессии?

10. Как осуществить прогноз значений результативного признака, опираясь на использование для этой цели уравнения регрессии? 

11. Как подходить к отбору факторов для включения их в уравнение множественной регрессии?

12. В каких пределах заключена величина совокупного коэффициента корреляции и как она соотносится с величиной парных коэффициентов корреляции?

 

 

Лекция № 12. Изучение взаимосвязи между экономическими явлениями.

В данной теме вы познакомитесь с типами связи между социально-экономическими явлениями, методами оценки тесноты связи, методами построения уравнений связи, позволяющих прогнозировать изменения характеристик одного явления, используя значения характеристик явления корреляционно с ним связанного.

План лекции.