Динамика вращательного движения

             Чтобы твердое тело с закрепленной осью привести во вращение, к нему необходимо приложить силу, не проходящую через ось вращения и не параллельную ей. Вращательное движение под действием силы F определяется не только ее величиной, но и расстоянием d от линии ее действия до оси вращения, называемого плечом силы. Векторное произведение M =[ rF ] или M = r F sinα называют моментом силы, где r - радиус-вектор, проведенный из точки О, обозначающей ось вращения, к точке приложения силы. Плечо силы d =r sin α, где α – угол, между направлением силы F и радиус-вектора r.

Разобьем мысленно тело на материальные точки массой m_i c расстоянием до оси вращения r _i. Пусть под действием силы F тело начало вращаться. Это значит, что каждая точка тела получила ускорение a_i, По второму закону Ньютона для каждой точки тела можно записать F_i =m_ia_i. Умножим обе части равенства на радиус вращения точки r_i

F_i r_i =m_i a_i r_i.

 

Учитывая, что a_i = r_i∙ε; M_i = F_ir_i, запишем M_i = m_ir_i² ε. Величина J_i = m_ir_i²  называется моментом инерции материальной точки, а сумма    моментом инерции тела относительно оси вращения. M_i= J_i∙ε. Суммируя последнее равенство по всем точкам тела, получим:

M= J ε или ε = M/ J -

уравнение динамики вращательного движения, или уравнение II закона Ньютона для вращательного движения. Угловое ускорение прямо пропорционально моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции тела.

Момент инерции характеризует инерционность тела при вращательном движении и зависит не только от массы тела, но и от распределения этой массы относительно оси вращения. В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами dm и момент инерции тела определяется интегралом

.

Пределы интегрирования определяются формами и размерами тела.

В тех случаях, когда ось вращения проходит через центр тяжести (или центр инерции) тела, а тело имеет правильную геометрическую форму, интегрированием легко получить выражения для момента инерции и они являются наиболее простыми. Так, момент инерции обруча, кольца и пустотелого цилиндра J = mR² ; диска и сплошного цилиндра J = ; шара J = , стержня где m- масса тела, R- радиус, ℓ-длина стержня.

В тех случаях, когда ось вращения проходит не через центр инерции тела, момент инерции определяется по теореме Штейнера:

J =J₀ + md² .

Момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.

Момент инерции J тонкого стержня длиной l относительно оси O΄O΄, проходящей через его конец (рис.14а) . Момент инерции шара относительно оси O^’ O^’, касательной к его поверхности (рис.14б)