Глава 1. Введение. Основы кинематики

ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Введение

Предмет физики.

Окружающий нас мир материален. “Материя есть философская категория для обозначения объективной реальности, которая отображается нашими ощущениями, существуя независимо от них” (В.И.Ленин, ПСС, том 18, с. 131). Неотъемлемым свойством материи и формой ее существования является движение Движение - это всевозможные изменения материи – от простого перемещения до сложнейших процессов мышления.

Физика (от греч. - природа) – наука о наиболее простых, и, вместе с тем, наиболее общих формах движения материи и их взаимных превращениях. Изучаемые физикой формы движения материи (механическая, тепловая и др.) присутствуют во всех высших и более сложных формах движения материи (химических, биологических и др.), и являются предметом изучения этих других наук.

Методы физического исследования

Процесс познания в физике начинается с наблюдения явлений в естественных условиях. Умозрительное обобщение результатов наблюдений приводит к выдвижению гипотезы - предположения о закономерностях, которые требуют проверки и доказательства опытным путем, т.е. постановкой эксперимента. В результате - ошибочные гипотезы (например, флогистона, эфира и др.) отбрасываются, а на основе правильных, подтвержденных экспериментами, формируется физическая теория.

Физическая теория дает качественное и количественное объяснение целой области явлений природы с единой точки зрения - вскрывает механизм этих явлений и формулирует их закономерности.

Развитие науки – от опыта к теории, от теории к опыту - этим не ограничивается. Обнаруживаются новые области явлений и факты, объяснение которых не укладывается в рамки существующей теории и требует выдвижения новых гипотез. Новые открытия ведут к исправлению или дополнению теорий, созданию новых, более глубоко и точно отражающих объективные закономерности природы.

Новая теория не всегда отрицает старую, чаще всего включает ее в себя как часть, частный случай, т.е. является более широкой и всеохватывающей (например, классическая механика стала составной частью релятивистской механики). Таким образом, по непрерывно восходящей спирали идет развитие науки.

Роль физики в развитии техники

 

Физика является фундаментом развития техники. Примером этого может служить создание новых современных отраслей техники. Ядерная энергетика выросла из физики атомного ядра, - электроника - из физики твердого тела, лазерная техника – из оптики и теории электромагнитного излучения.

Связь с техникой носит двусторонний характер. Развитие техники дает новые, более совершенные, более точные приборы и методы исследования, позволяющие проникнуть вглубь строения вещества. Например, ускорители частиц дали возможность открытия и изучения новых элементарных частиц, создания искусственных химических элементов.

 

Связь физики с другими науками.

Физика тесно связана с другими естественными науками. Эта связь привела к тому, что физика тесно переплелась с другими науками как астрономия, геология, химия, биология, химфизика и др. Физика тесно связана с философией. В основе научного познания мира лежит метод диалектического материализма. Диалектика - это наука о всеобщих законах движения, изменения, обновления и развития материи в наиболее далеком от односторонности виде.

Такие крупные открытия в области физики, как закон сохранения и превращения энергии, соотношение неопределенностей и др. являются ареной борьбы между материализмом и идеализмом.

 

Физические основы механики

Простейшей формой движения материи является механическая – изменение взаимного положения тел в пространстве с течением времени. Исторические приоритеты в развитии механики обусловили потребности военного дела и техники еще в древнейшие времена. Развитие механики начинается со времен Архимеда (III век до н.э.), когда он сформулировал закон равновесия рычага и закон равновесия плавающих тел. Основные законы механики установлены Галилеем (XYI век) и окончательно сформулированы Ньютоном (XYII век). В настоящее время механика подразделяется на 3 отдельные части:

1. Классическая механика Галилея- Ньютона;

2. Релятивистская механика, основанная на специальной теории относительности;

3. Квантовая механика.

Классическая механика делится на 3 раздела: кинематику, динамику и статику.

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причин, которые вызвали это движение.

Динамика изучает законы движения тел во взаимосвязи с причинами, которые вызывают или изменяют движение.

Статика изучает законы равновесия этих сил.

 

1. Модели в механике. Система отсчета. Кинематические

характеристики движения.

В физических исследованиях часто используют научную абстракцию. При изучении движения или свойств тел не принимают во внимание несущественные для данной задачи характеристики тела, например, его размеры, строение, внутреннее состояние и т.п. Простейшим примером научной абстракции или физической моделью является понятие материальной точки.

Материальная точка - это тело, размерами которого можно пренебречь (они пренебрежимо малы по сравнению с масштабами движения и расстояниями) в данной задаче. Например, рассматривая движение Земли в Солнечной системе, молекулы в сосуде, их можно считать материальными точками.

Система материальных точек. Всякое тело можно мысленно разделить на такие части, каждую из которых можно рассматривать как материальную точку в данном масштабе движения, Тогда изучение движения тела или системы тел сводится к изучению движения системы материальных точек.

Абсолютно твердое тело – тело, которое ни при каких условиях в данной задаче не может деформироваться и расстояние между двумя частицами этого тела остается постоянным.

Изучение механического движения начнем с простейшего - поступательного.

Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Движение в механике рассматривается как перемещение материальных точек (или просто точек) или их систем в пространстве и во времени.

Положение материальной точки определяется по отношению к телу отсчета, считаемому неподвижным. Связанная с ним система координат и часов называется системой отсчета. Положение точки А в декартовой системе координат в данный момент времени определяется координатами x, y, z или радиусом –вектором r (рис.1).

При движении материальной точки координаты с течением времени изменяются, т.е. являются функциямивремени. Скалярные уравнения:

x = x(t); y = y(t); z = z(t) (1.1)

в общем случае являются кинематическими уравнениями движения точки. Система уравнений (1.1) эквивалентна векторному уравнению       r = r (t).

Положение точки в пространстве можно описать с помощью полярных координат r,Θ,φ (рис.1).

Рис.1

Числом степеней свободы материальной точки называют число независимых координат, которые полностью определяют ее положение в пространстве. Если точка движется в пространстве, то ее положение определяется тремя координатами x, y, z и она обладает тремя степенями свободы. При движении по плоскости у точки две степени свободы, а при движении по прямой точка обладает только одной степенью свободы.

Траекторией движения называют линию, описываемую движущейся точкой. Пусть материальная точка перемещается по кривой из положения А в положение В (рис. 2). Тогда дуга АˇВ будет траекторией, а длина этой дуги ∆s будет длиной пути. Длина пути ∆s представляет собой скалярную функцию времени ∆s= ∆s (t). Начальное положение материальной точки задается радиусом-вектором r _0,а конечное - радиусом-вектором r. Вектор Δ r = r – r ₀ (приращение радиуса-вектора за рассматриваемый промежуток времени) называется перемещением. При прямолинейном перемещении | Δ r | = ∆s.

Скорость

Быстрота и направление движения точки характеризуется скоростью. Скорость векторная величина. Пусть точка перемещается из положения А в положение В (рис.3). В момент времени t положение материальной точки характеризует радиус-вектор r ₀. За малый промежуток времени Δt точка прошла путь Δs до положения В и совершила элементарное перемещение Δ r. Вектором средней скорости называют отношение

‹ v › = Δ r /Δt [м/c]

Направление ‹ v › совпадает с направлением Δ r.

Мгновенной скоростью v называют предел отношения приращения радиуса-вектора точки Δ r к промежутку времени Δt, стремящемуся к нулю

v = lim Δ r /Δt = d r/ dt,

                                       ^Δt→0

т.е. v есть первая производная радиуса-вектора по времени. В пределе при Δt→0, секущая АВ совпадает с касательной и, следовательно, мгновенная скорость v направлена по касательной в каждой точке траектории.

По мере уменьшения Δtпуть ∆s будет приближаться к значению модуля перемещения |Δ r |, поэтому модуль мгновенной скорости будет равен

Из полученного выражения видно, что ds = dt. Путь s, пройденный за время Δt, найдем, интегрируя выражение ds = v dt в пределах от t до t+ Δt

s =

В случае равномерного движения (v = const) s = vt. В самом общем случае, когда скорость является функцией времени v = v(t), путь, пройденный за время Δt = t₂ –t_1, определяется интегралом

.

 

Ускорение

Физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и по направлению, называется ускорением. Пусть материальная точка, двигаясь по криволинейной траектории, за время Δt переместилась из положения А в положение В. При этом скорость точки изменилась от v до v _1.

v ₁ = v + Δ v

Изменение скорости Δ v надем, если перенесем вектор v ₁ из точки В в точку А (на рис.4 вектор АЕ).

Средним ускорением ‹а› называется отношение изменения скорости Δv к промежутку времени Δt

‹ а › = Δ v / Δt      [м/c²]

 

Мгновенным ускорением (или просто ускорением) a в момент времени t называют предел среднего ускорения ‹ а › при Δt, стремящемся к нулю.

 

.

Ускорение есть векторная величина, равная первой производной от скорости по времени.

Изменение скорости Δ v представляет собой изменение скорости как по величине Δ v _τ, так и по направлению Δ v_n. Вектор Δ v (вектор СЕ на рис. 4) разложим на две составляющие Δ v _τ и Δ v_n. Из рис. 4 видно, что Δ v _τ, равное отрезку СД, есть изменение скорости по величине (по модулю) за время Δt, поскольку АД = | v ₁|. Вторая составляющая Δ v_n ( отрезок CF) характеризует изменение скорости по направлению. Изменение скорости по величине называют тангенциальным ускорением a _τ. 

Величина тангенциальной составляющей ускорения

 

т.е. равна первой производной от модуля скорости по времени. Изменение скорости по направлению называют нормальным ускорением a _n.

Из подобия треугольников АОВ и ЕАД следует, что Δv _n / AB = v₁ / r.

Если точка А и В расположены близко друг к другу, то можно считать, что радиус кривизны дуги АˇВ равен r что хорда АВ мало отличается от дуги AˇВ и поэтому АВ  vdt. Тогда

 

                                или         

 

Видно, что в пределе при Δt, стремящимся к нулю, v ₁ → v  и тогда значение нормальной составляющей ускорения будет выражаться

 

где r - радиус кривизны траектории. При этом угол между векторами v и Δ v_n (<FCD на рис. 4) стремится к 90⁰, т.е. векторы v и Δ v_n в каждой точке траектории оказываются взаимно перпендикулярными (рис.5). Это значит, что вектор Δ v_n направлен к центру кривизны траектории. Полное ускорение a, будет выражаться 

a = a _τ + a _n,

а его величина определяться по формуле

Итак, тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине, а нормальное ускорение- изменение скорости по направлению.

Характер движения тел определяется значениями а_τ  и a_n, и его можно классифицировать по видам:

1. а_τ = 0; a_n = 0 -прямолинейное равномерное движение;

2. а_τ  = а = const; a_n = 0 – прямолинейное равнопеременное движение, при котором

Если t₁=0; t₂=t; v₁ = v₂; v₂ = v, то получим 

 

             и

Интегрируя выражение ds = v dt в пределах отрезка времени от 0 до t, найдем длину пути s, пройденного телом за время t.

 

 

3. а_τ = f (t); a_n =0 - прямолинейное движение с переменным ускорением;

4. а_τ = 0; а_n = const - равномерное движение по окружности;

5. а_τ = 0; a_n ≠o - равномерное криволинейное движение;

6. а_τ = const; a_n ≠o - равнопеременное криволинейное движение;

7. а_τ=f(t);  a_n ≠o -криволинейное движение с переменным ускорением.

 

Контрольные вопроси.

1. Какие модели вводятся в механике?

2. Что называют системой отсчёта?

3. Какое движение называется поступательным?

4. Дайте определение характеристик поступательного движения: траектория, путь перемещения, скорость, средняя и мгновенная, ускорение тангенциальное и нормальное  

Тесты.

1. Какая из приведенных ниже формул соответствует определению мгновенной скорости? 

2. а)   б)   в)   г)

3. Какая из приведенных ниже формул соответствует определению тангенциального ускорения?  

 а)     б)     в)    г)

4. Какая из перечисленных ниже физических величин является скалярной? а) сила;   б) скорость; в) перемещение; г) ускорение; д) путь.

5. Какая из приведенных зависимостей пути от времени описывает равноускоренное прямолинейное движение?

а)   б)   в)   г)

 

Пример решения задач.

Материальная точка движется по прямой. Уравнение её движения . Определить мгновенную скорость и ускорение точки в конце второй секунды от начала движения, среднюю скорость и путь, пройденный за это время.

    Дано:

    Найти:

Решение. Мгновенная скорость – это первая производная от пути по времени:

                  (м/с)    

Мгновенное ускорение – это первая производная от скорости по времени:

                            (м/с²)    

Средняя скорость точки  за время  определяется по формуле

.

Так как , то .

Путь, пройденный точкой за время , будет равен

.