Любая непрерывная функция, спектр которой не содержит частот

выше  , полностью определяется своими отсчетами, взятыми через интервал времени . ( Теорема Котельникова )

Временные диаграммы непрерывного сигнала x(t) и дискретизированного x _д(t) имеют вид:

 

       x(t)

                                                        t

                 0 D t 2 D t 3 D t 4 D t                 Рис. 3.1

      x_д(t)

 

 

                 0 D t 2 D t 3 D t 4 D t     t

 

  Важно, что не надо передавать  непрерывно исходный сигнал x(t),

достаточно передавать отсчёты x(kDt).      Это первый шаг перехода от

непрерывного сигнала к цифровому. С точки зрения математики теорема Котельникова означает представление сигнала в виде ряда:

                                    (3.1)

Ряд Котельникова – это разложение сигнала  в ряд по ортого-

нальным функциям .

                   (3.2)   

Теоретически дискретизация осуществляется с помощью d-импульсов. Временная диаграмма одиночного d- импульса имеет вид:

                                        u(t)

                                                       

                                                           d(t-a)                                                                                            

 

       Рис. 3.2                    0    a                                   t                                   

Спектр одиночного - импульса получим, используя преобразование Фурье:

 Использовано
 "фильтрующее" свойство дельта-функций:

 Следовательно, спектр одиночного дельта-импульса имеет вид:                              

                                                

                                                S(jw)

 

                                            1

                                                                                            Рис. 3.3

                                                                         w

Чтобы получить отсчёты функции перемножим функцию  на периодическую последовательность - импульсов с периодом Т=Dt. Временная диаграмма периодической последовательности дельта-импульсов имеет вид:

                                                                             u_d(t)

                                                                                      

 

 

          d(t+4Dt) d(t+3Dt) d(t+2Dt) d(t+Dt)  d(t) d(t-Dt) d(t-2Dt) d(t-3Dt)

       ...                                                                               ....

 

         -4Dt -3Dt -2Dt -Dt  0  Dt 2Dt 3Dt 4Dt      t

 

                                                                       Рис.3.4

Так как сигнал периодический, то его спектр будет   дискретным.

 

                                                                                                                                                  (3.3)

;    

       Т =D t;                       -частота дискретизации.

Спектр периодической последовательности - импульсов в соответствии с формулой для U(t) имеет следующий вид:

                                                                         S(jw)     

 

                                                                                                                                                                                                                             

                                                                         1/Dt                                           Рис.3.5

 

            ......                                                                                            .....

 

                                                                                                                                                   t

                        --3w_д  -2w_д -w_д      0            w_д    2w_д 3 w_д                          w

 

                          

  3.2. Спектр дискретизированного сигнала.

Рассмотрим временные диаграммы исходного и дискретизированного сигналов:

       x(t)

                                                        t

                 0 D t 2 D t 3 D t 4 D t                 Рис. 3.6

     x_д(t)

 

 

                 0 D t 2 D t 3 D t 4 D t     t

 

 

- дискретизированный сигнал

- исходный сигнал.

-периодическая последовательность - импульсов

 

Разложим периодическую последовательность d-импульсов в ряд Фурье, как мы это делали выше:

 

Найдём спектр дискретизированного сигнала.

(3.4)

 

Т.о. мы видим, что спектр дискретизированного сигнала содержит спектр исходного сигнала S _x (w), спектр исходного сигнала смещенный на величину частоты дискретизации вправо S _x (w - w _д), тот же спектр смещенный на величину частоты дискретизации влево S _x (w + w _д), тот же спектр смещенный на величину 2 w _д и т.д.

Спектр исходного непрерывного сигнала.

                                       S_x(w)

                                           

                      Рис.3.8

 

                                 -w_g                          w_g           w

Спектр дискретизированного сигнала :                                                                _·

                                       S_д(w)

 

                                                                                             Рис.3.9

………..                                                                 …………

 

                                                                                                               

  (-w_д - w_в) - w _д - w_в      0          w_в     w_д (w_д + w_в)     w                                            

 

 

3.3. Спектр дискретизированного сигнала при дискретизации импульсами конечной длительности (сигнал амплитудно-импульсной модуляции или АИМ сигнал).

Очевидно, что реально мы располагаем не последовательностью дельта-импульсов, а последовательностью импульсов конечной длительности.

В результате процесса дискретизации мы получим не последовательность дельта-импульсов, амплитуда которых соответствует значению непрерывного сигнала в тактовые моменты времени, а последовательность реальных, например, прямоугольных импульсов, амплитуда которых соответствует значениям непрерывного сингнала в тактовые моменты времени.

Рассмотрим временные диаграммы:

 

            x(t)                    аналоговый сигнал               

 

 

                                                                                 t  

          U(t) периодическая последовательность импульсов                    

 

 

                                                                                 t

        x_аим(t)                        сигнал АИМ   

 

                                                                                 t

                0   Dt 2Dt 3Dt 4Dt ……

                                      Рис.3.10.

 

АИМ сигнал можно записать в виде:

U(t)-периодическая последовательность импульсов.

В квадратных скобках – ряд Фурье для последовательности импульсов конечной длительности.

Спектр АИМ сигнала,следовательно, похож на спектр дискретизированного сигнала при дискретизации дельта -импульсами, но амплитуда составляющих спектра убывает с ростом номера гармоники:    (3.5)

 

Спектр АИМ сигнала в соответствии с формулой (3.5) принимает вид, показанный на рис.3.11.                                           

                                                         

                                                                _·

                                       S_д(w)

 

 

                                                                                                

 

                                                                                                           

         -2 w _д     - w _д - w _в      0         w _в w _д       2 w _д       w

 

                                                                               Рис.3.11