Чисельне інтегрування кратних інтегралів

 

Розглянемо K-вимірний інтеграл вигляду

                       (7.16)

де  - деяка K-вимірна точка. Далі розглянемо подвійні інтеграли (K=2), оскільки їх можна інтерпретувати графічно.

Кубатурні формули, або формули чисельних кубатур, призначені для чисельного визначення кратних інтегралів.

 

 

Нехай функція  визначена й неперервна в деякій обмеженій області . У цій області  вибирається система точок (вузлів) . Для обчислення інтеграла  приблизно покладемо

(7.17)

Щоб знайти коефіцієнти , зажадаємо точного виконання кубатурної формули (7.17) для всіх поліномів

   (7.18)

степінь яких не перевищує заданого числа . Для цього необхідно й достатньо, щоб формула (7.17) була точною для добутку степенів

. Покладаючи в (7.17) , маємо:

(7.19)

Таким чином, коефіцієнти  формули (7.17) можуть бути визначені із системи лінійних рівнянь (7.19).

Для того щоб система (7.19) мала розв’язок, необхідно, щоб число невідомих  дорівнювало числу рівнянь. У випадку подвійного інтеграла () одержуємо

Вибір кубатурних формул

 

Для одержання заданої точності  у разі К -кратного інтеграла сітковим (різницевим) методом потрібно виконати близько  обчислень підінтегральної функції, де р – порядок точності сіткової формули.

Отже, якщо , вигідні сіткові методи, якщо ж   то вигідний метод Монте-Карло. Так, за р=2 тривимірний інтеграл обчислюють сітковими методами, а при K =5 – методом Монте-Карло.

Розглянемо інтеграл по k -вимірній області, яка розбита сіткою на комірки (Рис. 7.4). Його можна обчислити послідовним інтегруванням:

Кожний однократний інтеграл легко обчислюється на даній сітці за квадратурними формулами типу

Послідовне інтегрування в усіх напрямках приводить до кубатурних формул, які є прямим добутком одновимірних квадратурних формул:

  (7.20)

Наприклад, при k =2, якщо по кожному напрямку обрана узагальнена формула трапецій, а сітка рівномірна, то ваги кубатурної формули дорівнюють  відповідно для внутрішніх, граничних і кутових вузлів сітки. Легко показати, що для двічі неперервно диференційованих функцій ця формула має другий порядок точності, і до неї застосуємо метод Рунге-Ромберга.

Взагалі для різних напрямків можна використати квадратурні формули різних порядків точності . Тоді головний член похибки має вигляд

Бажано для всіх напрямків використовувати квадратурні формули однакового порядку точності.

Можна підібрати ваги й положення ліній сітки так, щоб одновимірна квадратурна формула була точною для многочлена максимального степеня, тобто була б формулою Гауса. Тоді для випадку k =2:

(7.21)

де -нулі многочленів Лежандра й відповідні ваги. Ці формули розраховані на функції високої гладкості й дають для них більшу економію за кількістю вузлів у порівнянні з простішими формулами.

 

Метод послідовного інтегрування можна застосовувати до області довільної форми, наприклад, із криволінійною границею. Розглянемо цей випадок при K =2. Для цього проведемо через область хорди, паралельні осі , і на них уведемо вузли, розміщені на кожній хорді так, як нам потрібно (рис. 7.5). Представимо інтеграл у вигляді

Спочатку обчислимо інтеграл по  уздовж кожної хорди за будь-якою одномірною квадратурною формулою, використовуючи введені вузли. Потім обчислимо інтеграл по ; тут вузлами будуть служити проекції хорд на вісь ординат.

При обчисленні інтеграла по  є одна особливість. Якщо область обмежена гладкою кривою, то при  довжина хорди прямує до нуля не лінійно, а як ; виходить, поблизу цієї точки . Те саме буде при . Тому інтегрувати безпосередньо  за формулами високого порядку точності не має сенсу. Доцільно виділити з  основну особливість у вигляді ваги , якій відповідають ортогональні многочлени Чебишева другого роду.

Тоді друге інтегрування виконується за формулами Гауса

(7.22)

де , а  й -нулі й ваги многочленів Чебишева другого роду.