Апроксимаційні властивості кубічного сплайна

Апроксимаційні властивості кубічного сплайна залежать від гладкості функції - чим вище гладкість інтерпольованої функції, тим вище порядок апроксимації при подрібленні сітки і тим швидшою є збіжність.

Якщо інтерпольована функція  неперервна на відрізку , тобто , то

 при .

Якщо інтерпольована функція  має на відрізку  неперервну першу похідну, тобто , а  - інтерполяційний сплайн, що задовольняє граничні умови 1-го або 3-го типу, то при

У цьому випадку не тільки сплайн збігається до інтерпольованої функції, але і похідна сплайна збігається до похідної цієї функції.

На випадок, якщо , сплайн  апроксимує на відрізку  функцію , а його 1-а та 2-а похідні апроксимують відповідно функції  та :

5.2.7 Застосування інтерполяції для складання таблиць

 

Теорія інтерполяції має застосування при складанні таблиць функцій. Одержавши завдання на складання таблиць тих чи інших функцій, математик повинен вирішити перед початком обчислень ряд питань. Повинна бути обрана формула, за якою будуть проводитися обчислення. Ця формула може змінюватися від ділянки до ділянки. Як правило, формули для обчислення значень функції бувають громіздкими і тому їх використовують для одержання деяких опорних значень і потім, шляхом субтабулювання, згущують таблицю. Формула, що дає опорні значення функції, повинна забезпечувати потрібну точність таблиць із врахуванням наступного субтабулювання. Якщо передбачається скласти таблиці з постійним кроком, то спочатку необхідно визначити крок таблиці.

Найчастіше таблиці функцій складаються так, щоб була можлива лінійна інтерполяція (тобто інтерполяція з використанням перших двох членів формули Тейлора). У цьому випадку залишковий член буде мати вигляд . Тут x належить інтервалу між двома сусідніми табличними значеннями аргумента, у якому лежить х, а . Добуток t(t – 1) набуває найбільшого за модулем значення при . Це значення дорівнює  Отже,  де .

Щоб помилка інтерполяції не перевищувала за абсолютною величиною деяке а, необхідно вибрати h, яке задовольняло б умову

Метод найменших квадратів

 

Аналізуючи попереднє, можна зазначити, що інтерполювання може бути здійснене лише на невеликому інтервалі по кількох вузлах інтерполяції, процес обчислення скінченних різниць є нестійким. Окрім того, якщо значення  подають значення функції, яка наближується, зі значними похибками, інтерполювати ці значення недоцільно.

За таких умов застосовують середньоквадратичне наближення. Найбільш ефективним методом побудови середньоквадратичного наближення функції є метод найменших квадратів (МНК).

Нехай є відомими  значень  () деякої фізичної величини , виміряної у моменти часу . Припустимо, що ці значення подають істинні значення функції  у відповідні моменти часу зі значними похибками, значення яких невідомі, але припускається, що ці похибки є випадковими з математичним сподіванням, що дорівнює нулю. Будемо наближати невідому функцію  за допомогою лінійної комбінації деяких відомих  функцій

,             (5.39)

де функції , ,...,  називатимемо базовими функціями. Потрібно визначити  невідомих коефіцієнтів  () з умови, щоб квадрат середньоквадратичного відхилення (СКВ) апроксимуючої функції  від апроксимованої (обчисленого для заданих значень  аргумента )

(5.40)

був мінімальним (саме тому відповідний метод називається МНК). Квадрат СКВ (5.40) є функцією  невідомих коефіцієнтів  (). Тому для пошуку його мінімуму необхідно знайти  частинних похідних за окремими коефіцієнтами

   (5.41)

і прирівняти їх до нуля. В результаті одержується система з  лінійних алгебричних рівнянь з  невідомими , ,..., :

(5.42)

Система (5.42) називається нормальною системою для методу найменших квадратів. Визначником цієї системи є визначник Грама сукупності функцій :

 (5.43)

Як відомо, якщо функції  складають сукупність взаємонезалежних функцій (тобто ніяку з цих функцій неможливо подати як лінійну комбінацію решти з них), то визначник Грама цих функцій не дорівнює нулю. Це означає, що за базові функції при апроксимуванні потрібно обирати сукупності лінійно незалежних функцій. Тоді СЛАР (5.42) має єдиний розв'язок - значення коефіцієнтів , що забезпечують мінімум квадрата середньоквадратичного відхилення апроксимуючої та апроксимованої функцій.

Ортогональними на деякому інтервалі  функціями називається сукупність таких функцій, що

.

Матриця Грама для ортогональних функцій є одиничною.

У випадку, коли за базові при апроксимуванні обрані ортогональні функції, обчислення коефіцієнтів апроксимації значно спрощується. У цьому випадку значення їх можна визначити співвідношенням

.                (5.44)

Тому при апроксимуванні бажано обирати за базові системи ортогональних функцій.

Класичними прикладами ортогональних функцій-поліномів є поліноми Якобі, Лежандра, Лагерра, Чебишева, Ерміта. Наприклад, поліноми Лежандра  є ортогональними на відрізку  і мають вигляд:

; ;   ; ;

; .

Поліноми Чебишева першого роду  є ортогональними також на інтервалі . Їх можна задати співвідношенням

;   ,

а рекурентна формула їх визначення має такий вигляд:

   ;      .

Наведемо приклади поліномів Чебишева першого роду:

; ; ;

; ;

;   .

Поліноми Чебишева другого роду  також ортогональні на тому самому інтервалі і мають такий вигляд:

; ; ;

;      .

Поліноми Ерміта  ортогональні на всій числовій осі  і мають вигляд

; ; ;

; .

Наведені системи ортогональних поліномів стають у нагоді, коли за апроксимуючу функцію обирається поліном певного степеня, тобто для здійснення так званої поліноміальної апроксимації.

Прикладом системи неортогональних базових поліномів може бути така система:

;     ;..., ;....

Вона часто використовується на практиці. Тоді - многочлен степеня . В цьому разі до розв’язку пропонується система вигляду

При  отриманий многочлен збігається з інтерполяційним многочленом Лагранжа.

Приклад. Найпростіша емпірична формула .

Про придатність цієї формули можна робити висновки за величинами . Якщо , то формула підходить. Невідомі коефіцієнти  знайдемо з необхідної умови екстремуму функції

.

У результаті одержимо систему лінійних рівнянь

Розв’язуючи систему,знаходимо a і b, що при заданому вигляді рівняння регресії забезпечують мінімум (a, b).

a =  ; b =

При цьому, природно, у результаті апроксимування певної сукупності даних в усіх випадках одержується однаковий поліном. Різниця полягає лише у зручності, простоті отримання коефіцієнтів цього полінома.

Якщо при поліноміальній апроксимації кількість базових функцій-поліномів дорівнює 2, тобто , апроксимація називається лінійною. В результаті лінійного апроксимування одержують так звану лінію регресії (пряму). При  апроксимування називають квадратичним, а при  -кубічним.

Звичайно, апроксимування не обов'язково має бути поліноміальним. Наприклад, якщо відомо, що вимірювана функція є періодичною з відомим періодом , де - кругова частота, то за базові функції зручно використовувати таку сукупність:

; ; ;...,

; ;...,

тобто використовувати апроксимацію у вигляді ряду Фур'є. Тут  є цілим додатним числом, яке дорівнює номеру гармоніки у розкладі Фур'є.

Наведена сукупність функцій є ортогональною на інтервалі, кратному періодові . Тому застосування її є вельми ефективним (потребує мінімуму обчислень), якщо інтервал вимірювання обрати кратним періодові.

Опис результатів спостережень методом найменших квадратів ускладнюється, якщо невідомі коефіцієнти в рівняння регресії входять нелінійно. Однак у багатьох випадках задачу вдається спростити, застосовуючи деякі прості перетворення вихідного рівняння регресії.

Приклад. У ряді випадків до лінійної залежності можуть бути зведені експериментальні дані, коли їхній графік у декартовій системі координат не є пряма. Цього можна досягти шляхом уведення нових змінних , які вибираються так, щоб точки  лежали на прямій. Таке перетворення називається вирівнюванням даних. Наприклад, рівняння регресії має вигляд х= ce . Прологарифмуємо функцію ln х= lnc + k t. Позначимо ln x = z, lnc = a. В результаті одержуємо лінійне рівняння z = a + k t. Методом найменших квадратів знаходимо значення а і k (див. приклад вище), після чого визначимо так само c=e

Вибір вигляду регресійної залежності можна здійснити за таблицею. Для цього за вихідними даними обчислюють середні значення х_ср та у_ср

, , ,

.

Величина  обчислюється в такий спосіб:

1) якщо  збігається з одним із вихідних , то ;

2) якщо  знаходиться між  і , то  знаходимо як ординату відповідної точки на відрізку прямої, що з'єднує вузли  і , за формулою

.

Вибір рівняння регресії здійснюється шляхом пошуку мінімального значення виразу  і відповідної йому функції, використовуючи таблицю.

Таблиця 5.1 Вибір залежності

N

.