Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Кубічний інтерполяційний сплайн
Кубічні сплайн-функції моделюють дуже старий механічний пристрій, яким користувалися креслярі. Вони брали гнучкі рейки, виготовлені з досить пружного матеріалу, наприклад з дерева. Ці рейки закріплювали, підвішуючи важки в точках інтерполяції, що відповідають інтерполяційним вузлам. Рейка або механічний сплайн набирали форму з найменшою потенційною енергією. Остання умова має свій математичний вираз f(IV)(x) º 0. Якщо при цьому сплайн не руйнується, то тоді функція та її похідні повинні бути неперервними на [ х0,хn ]. З теорії балок відомо, що функція f(х) між кожною парою заданих точок може бути представлена поліномом 3-го степеня f(x) = ai + bi(x - xi) + ci(x - xi)2 + di(x - xi)3, де хi-1<х<хi. При цьому між кожною парою сусідніх вузлів поліноми з'єднуються неперервно (так само, як їх перші та другі похідні). Інтерполяція кубічними сплайнами - це швидкий, ефективний і стійкий спосіб інтерполяції функцій, що є основним конкурентом поліноміальної інтерполяції. У його основу покладена така ідея - інтервал інтерполяції розбивається на невеликі відрізки, на кожному з яких функція задається поліномом третього степеня. Коефіцієнти полінома підбираються так, що на границях інтервалів забезпечується неперервність функції, її першої та другої похідних. Також є можливість задати граничні умови - значення першої або другої похідних на границях інтервалу. Якщо значення однієї з похідних на границі відомі, то задавши їх, ми одержуємо вкрай точну інтерполяційну схему. Якщо значення невідомі, то можна задати другу похідну на границі, що дорівнює нулю, й одержати досить гарні результати. Кубічну сплайн-функцію, що задовольняє умови f"(х1)=f"(хn)=0, називають природним кубічним сплайном. З математичної точки зору було доведено [Алберг, 1972], що вона є єдиною функцією з мінімальною кривизною серед усіх функцій, що інтерполюють функцію в заданих точках та мають квадратично інтегровану другу похідну. У цьому змісті кубічний сплайн буде самою гладкою функцією, що інтерполює задані точки. Побудова кубічного сплайна - простий і чисельно стійкий процес. Для треба визначити 4 коефіцієнти для кожного проміжку , тобто 4n параметрів. Вимагається щоб у внутрішніх вузлах сплайн і його похідні до 2-го порядку були неперервними
, i=1,…,n-1; r=0,1,2. Це дає 3n-3 умови для визначення параметрів, ще n+1 умова міститься у вимозі S3(xi) = yi, i=0,1,…,n.. Разом маємо 4n-2 умови. Ще 2 умови, необхідні для однозначного визначення коефіцієнтів сплайна, як правило, задаються у вигляді граничних умов, тобто умов у точках a й b. Розглянемо природні граничні умови . Позначивши та враховуючи її лінійність, одержуємо , . (5.27) Двічі інтегруючи (5.27), одержуємо , (5.28) , (5.29) де А та B - постійні інтегрування. Вищезгадані умови дають (5.30) З них одержуємо Підставляючи A та B в (5.29), одержуємо (5.31) . (5.32) З (5.28) знаходимо значення однобічних похідних для вузла xi, i=1,2,…,n-1 (5.33) Вимагаючи неперервності у вузлі xi одержуємо , де i=1,…,n-1. (5.34) Отже, отримуємо систему рівнянь відносно Mi вигляду (5.35) із квадратною матрицею A і квадратною матрицею Н . Координатами вектора F є значення y0,y1,…,yn. Для матриці A ненульові елементи розміщені на головній діагоналі й двох сусідніх з нею. Такі матриці називаються тридіагональними. Для невиродженої матриці A виконана умова діагональної переваги . Отже, система (5.35) однозначно розв'язувана, тобто існує єдиний кубічний інтерполяційний сплайн. Вигляд граничних умов змінює деякі елементи матриці A, але в кожному разі вона залишається матрицею з діагональною перевагою. Розв’язок системи (5.35) із тридіагональною матрицею A може бути знайдений методом прогонки.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 77; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.128.206.68 (0.007 с.) |