Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Ітераційний метод Ньютона для СНАР
Нехай, керуючись підходами, викладеними в розділі 2, знайдено p -е наближення одного з ізольованих коренів векторного рівняння (4.2). Тоді точний корінь можна подати у вигляді , (4.3) де - похибка кореня. Підставимо (4.3) у (4.2): . (4.4) Нехай – неперервна диференційована функція в деякій опуклій області, що містить і , розкладемо ліву частину (4.4) в ряд за степеням малого вектора , обмежившись лінійними членами: (4.5) З (4.5) випливає, що під треба розуміти матрицю Якобі системи функцій f1, f2,…,fn щодо x1,x2,…,xn Система (4.5) являє собою систему лінійних рівнянь відносно похибок (i=1,2,…,n) з матрицею W(x), тому формула (4.5) набере вигляду . Допускаючи, що W(x)– невироджена, знаходимо , значить, . (4.6) Отримали інтерполяційну формулу Ньютона для СНАР. Очевидно, формула (4.6) дозволить побудувати збіжну до кореня ітераційну послідовність за умови, що відображення буде стискаючим. Для цього треба правильно обрати нульове наближення . Теорема 3. Маємо нелінійну систему рівнянь з дійсними коефіцієнтами (4.2), де вектор-функція визначена і неперервна разом зі своїми частковими похідними 1-го і 2-го порядків в області w. Вважатимемо, що є точка, яка лежить у w разом зі своїм замкненим -околом. Причому виконані умови: 1) Матриця Якобі при = має обернену Г0, де ||Г0||<=A0, (в змісті m-норми) 2) ||Г0f(x0)||<=B0<=H/2 3) <=C при i,j=1,2,…,n 4) постійні A0, B0 і C задовольняють нерівність m 0 =2n0B0C<=1 Тоді процес Ньютона (4.6) при початковому наближенні збігається і граничний вектор є розв ’ я зком системи таким, що ||x*-x0||<=2B0<=H. Модифікований метод Ньютона При побудові процесу Ньютона (4.6) істотною незручністю є необхідність для кожного кроку заново обчислювати обернену матрицю Якобі. Якщо ця матриця неперервна в околі шуканого розв’язку x0, досить близького до x*, то приблизно можна покласти і ми приходимо до модифікованого методу Ньютона . Метод градієнтного спуску Припустимо, що в системі нелінійних алгебраїчних рівнянь (4.2) функції fi дійсні і неперервно диференційовані в їхній загальній області визначення. Розглянемо функцію . (4.7) Очевидно, що кожен розв’язок системи (4.2) перетворює в нуль функцію U(x); і навпаки, числа x1,x2,...,xn, для яких функція U(x) дорівнює нулю, є коренем системи (4.2).
Припустимо, що система має лише ізольований розв’язок, що являє собою точку строгого мінімуму функції U(x) у n -вимірному просторі ={x1,x2,..., xn }. Нехай - корінь системи (4.2) і - його нульове наближення. Через точку проведемо поверхню рівня функції U(). Якщо точка досить близька до кореня , то при наших припущеннях поверхня рівня U()=U( ) буде схожа на еліпсоїд. З точки рухаємося по нормалі до поверхні U()=U( ) доти, поки ця нормаль не доторкнеться в деякій точці іншої поверхні рівня U()= U( ). Потім, відправляючись від точки , знову рухаємося по нормалі до поверхні рівня U()= U( ) доти, поки ця нормаль не доторкнеться в деякій точці нової поверхні рівня U()= U( ), і т.д. Оскільки U( )>U( )>U( )>..., то, рухаючись таким чином, ми швидко наближаємося до точки з найменшим значенням U ("дно ями"), що відповідає кореневі системи (4.2). Позначимо через . (4.8) Залишається визначити множники l p. Для цього розглянемо скалярну функцію . Функція F (l) дає зміну рівня функції U уздовж відповідної нормалі до поверхні рівня в точці . Множник l = l p потрібно вибрати таким, щоб F (l) мала мінімум. Керуючись необхідною умовою екстремуму функції, одержуємо рівняння . (4.9) Найменший додатний корінь цього рівняння і дасть нам значення l p. Будемо вважати, що l - мала величина, квадратом і вищими ступенями якої можна зневажити. Маємо . Розкладаючи функції fi за степенями l з точністю до лінійних членів, одержимо , де . Звідси Отже, , де - матриця Якобі. Далі маємо . Звідси , де W`(x) - транспонована матриця Якобі. Тому остаточно , а . Отримали розрахункову формулу методу градієнтного спуску з визначенням кроку. Сучасна комп’ютерна техніка дозволяє суттєво спростити цей метод розв’язання нелінійних систем. Множник l p у формулі (4.8) обирають як достатньо малий постійний крок у напрямку антиградієнта. Наприклад, l p =0.00001. Приклад. Розв’язати систему нелінійних рівнянь з точністю e=0,0001 Скористаємося методом градієнтного спуску. Для цього побудуємо функцію , де , а .
Кожен розв’язок системи - це нуль функції і навпаки. Виберемо початкове наближення . Позначимо Пошук розв’язку проводимо за формулою . Множник l(p) визначається так: , де: . Тоді процес здійснюється за формулою ; W – матрица Якобі: . Пошук наближень до розв’язку припиняється за умови . Реалізація алгоритму на псевдокоді: VectorF(F,x): //розраховуємо коефіцієнти вектора F при x end VectorW(W,x): //розраховуємо коефіціенти матриці W при x end //W – матриця Якобі //F – матриця системи //Z – результат множення multWF(W,F,Z): // множення W на F 15 for i:=1 to W.lengthI do 16 for j:=1 to W.lengthJ do 17 Z[i]+=W[i,j]*F[j] 18 done 19 done End //A – вихідна матриця //X – транспонована матриця Transpon(A,X): 1 for i:=1 to A.lengthI do 2 for j:=1 to A.lengthJ do 3 if i=j then 4 X[i,j]:=A[i,j] 5 else 6 X[i,j]:=A[j,i] 7 fi 8 done 9 done End Scalar(A,B): //скалярний добуток векторів a та b 1 s:=0 2 for i:=1 to A.length do 3 s+=A[i]*B[i] 4 done 5 return s end // розв’язання нелінійної системи методом градієнтного спуску Solve_NonLinear_System(F,W,X): 1 n:=A.lengthI 2 for i:=1 to n do 3 X[i]:=-1; Done 5 k:=0 Repeat 7 k++ 8 for i:=1 to n do 9 XK[i]:=X[i] Done 11 Vectorf(F,xk) 12 MatrixW(W,xk) 13 MultWF(wt,f,u) 14 MultWF(w,u,z) 15 mu:=(scalar(f,z))/(scalar(z,z)) 16 maxr:=0 17 for i:=1 to n do 18 X[i]:=XK[i]-mu*U[i] 19 if abs(X[i]-XK[i])>maxr then 20 maxr:=abs(X[i]-XK[i]) Fi 22 until maxr<eps Done end. Відповідь: X=0.50, Y=1.00, Z=1.00.
Метод релаксацій
Перепишемо систему (4.1) у вигляді = + , де - деяка константа, і побудуємо ітераційний процес за схемою (k+1) = (k) + . Параметр повинен бути таким, щоб в околі pозв’язку виконувалася достатня умова збіжності || Е + W || < 1, де E - одинична матриця, а W – матриця Якобі. На практиці виконання цієї умови досить складно перевірити, тому значення параметра вибирають пробним шляхом, перевіряючи виконання необхідної умови збіжності після здійснення кожної ітерації || (k)- (k-1)||<|| (k-1)- (k-2)||. Якщо виявиться, що на якій-небудь ітерації ця умова не виконується, то необхідно змінити значення параметра . Приклад. Знайти з точністю всі корені системи нелінійних рівнянь використовуючи метод Ньютона для системи нелінійних рівнянь. Знайти корінь за допомогою убудованого блоку розв’язку рівнянь Given Find пакета MATHCAD. Рівняння системи: . Локалізація кореня Перше рівняння, визначене відносно x2: . Друге рівняння, визначене відносно x2: . Маємо . Перший корінь Початкове наближення: . Точність для блоку Given Find: TOL:= . Розв’язання системи f(x1,x2)=0 за допомогою убудованого блоку MATHCAD: Given 0 0 Find( Отриманий наближений розв’язок . Питання і завдання до розділу 4
1 Постановка задачі розв’язання системи нелінійних рівнянь. Основні етапи розв’язування задачі. 2 Метод простої ітерації: опис методу, умова й швидкість збіжності, критерій закінчення, приведення до вигляду, зручного для ітерацій. 3 Метод Ньютона: опис методу, теорема про збіжність, критерій закінчення. 4 Недоліки методу Ньютона. Модифікації методу Ньютона. 5 Застосування методів розв’язання систем нелінійних рівнянь для задачі мінімізації функцій. 6 Розв’язати методом Ньютона з точністю системи рівнянь: a) , ; b) , . 7 Чи можна стверджувати, що система має, й до того ж єдиний, розв’язок? 8 Для системи рівнянь виписати розрахункові формули методу релаксацій: 9 Розв’язати методом простої ітерації такі системи: a) , ; b) , .
10 Для функції знайти точки мінімуму, звівши задачу до розв’язання системи рівнянь. Розділ 5 Апроксимація функцій Апроксимація (від лат. approximo - наближаюся) - заміна одних математичних об'єктів іншими, якомось чином близькими до вихідних. Апроксимація дозволяє досліджувати числові характеристики і якісні властивості об'єкта, зводячи задачу до вивчення більш простих або більш зручних об'єктів (наприклад таких, характеристики яких легко обчислюються або властивості яких уже відомі). У теорії чисел вивчаються діофантові наближення, зокрема наближення ірраціональних чисел раціональними. У геометрії і топології розглядаються апроксимації кривих, поверхонь, просторів і відображень. Деякі розділи математики цілком присвячені апроксимації, наприклад наближення функцій.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 73; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.149.26.246 (0.084 с.) |