Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Чисельне розв’язання звичайних диференціальних рівнянь
Звичайними диференціальними рівняннями називаються рівняння, що пов’язують функцію та її похідні з однією незалежною змінною. Якщо незалежних змінних більше, ніж одна, то рівняння називається диференціальним рівнянням з частинними похідними. За допомогою звичайних диференціальних рівнянь будуються моделі руху систем взаємодіючих часток, електротехнічних процесів у електричних ланцюгах, кінетики хімічних реакцій, процесів заселення рівнів енергії у високотемпературних середовищах і багатьох інших об'єктів і процесів. До задач для звичайних диференціальних рівнянь зводяться деякі задачі для рівнянь у частинних похідних, коли рівняння дозволяє провести відокремлення змінних (наприклад, при обчисленні енергетичного спектра часток у полях визначеної симетрії). Звичайне диференціальне рівняння будь-якого порядку за допомогою заміни змінних може бути зведене до системи рівнянь першого порядку. У загальному вигляді перетворення є таким: диференціальне рівняння -го порядку заміною змінних зводяться до системи рівнянь першого порядку
де позначено . Відповідно до викладеного далі будуть розглядатися системи рівнянь першого порядку: Розв’язок системи -го порядку залежить від параметрів Єдиний розв’язок визначається при використанні додаткових умов для шуканої функції. У залежності від того, яким чином ставляться такі умови, розрізняють три типи задач для звичайних диференціальних рівнянь: задача Коші, крайова задача і задача на власні значення. У задачі Коші всі додаткові умови ставляться в одній точці . Розв’язок шукається на деякому інтервалі Якщо праві частини рівнянь неперервні в деякому околі початкової точки і задовольняють умову Ліпшиця за змінними , то розв’язок задачі Коші існує, єдиний і неперервно залежить від координат початкової точки, тобто задача є коректною. Умова Ліпшиця формулюється в такий спосіб:
для будь-яких точок , де - деяка константа. Можна виділити три класи методів розв’язання звичайних диференціальних рівнянь : точні, наближені та чисельні. Точні методи передбачають одержання розв’язку у вигляді комбінації елементарних функцій або у вигляді квадратур від останніх. Можливості точних методів обмежені.
Наближені методи зводяться до побудови послідовності функцій , що мають границею шукану функцію . Обриваючи цю послідовність на якомусь , одержують наближений розв’язок. Найбільш універсальними методами розв’язання є чисельні. Їхній основний недолік - можливість одержання тільки часткового розв’язку. Варто зауважити, що успіх від застосування чисельного методу суттєво залежить від обумовленості задачі, тобто задача повинна бути добре обумовленою, а саме, малі зміни початкових умов повинні призводити до малих змін у розв’язку. У протилежному випадку (слабкої стійкості) малі похибки в початкових даних або похибки чисельного методу можуть призводити до великих похибок у розв’язку. Приклад. Рівняння з початковою умовою має розв’язок . При виходить розв’язок . Якщо припустити, що не дорівнює строго нулеві, а має невелике відхилення від нуля, наприклад, , тоді при великих буде мати місце така ситуація. Якщо , то при збільшенні прямує до нуля, тобто до незбуреного розв’язку. У цьому випадку розв’язок називається асимптотично стійким за Ляпуновим. Однак при зі збільшенням необмежено зростає, а саме, наприклад, при . Таким чином, розв’язок виявляється нестійким. Далі будуть розглядатися алгоритми розв’язку задачі Коші на прикладі одного рівняння першого порядку . Узагальнення на випадок системи рівнянь здійснюється заміною на і на , де , .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 79; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.15.6.77 (0.006 с.) |