Числовые характеристики выборки

Вариационные ряды и графики эмпирических распределений дают наглядное представление о том, как варьируется признак в выборочной совокупности. Но они недостаточны для полной характеристики выборки, поскольку содержат много деталей, охватить которые невозможно без применения обобщающих числовых характеристик.

Числовые характеристики выборки дают количественное представление об эмпирических данных и позволяют сравнивать их между собой. Наибольшее практическое значение имеют характеристики положения, рассеяния и асимметрии эмпирических распределений.

Среднее арифметическое представляет собой такое значение признака, сумма отклонений выборочных значений признака от которого равна нулю.

Геометрический смысл среднего арифметического – точка на оси х, которая является абсциссой центра масс гистограммы.

Среднее арифметическое может вычисляться как по необработанным первичным данным, так и по результатам группировки этих данных.

Для несгруппированных данных:

где n – объем выборки; x_i – варианты выборки.

Для сгруппированных данных:

где n – объем выборки; k – число интервалов группировки; n_i – частоты интервалов; x_i – срединные значения интервалов.

Медианой (Ме) называется такое значение признака X, когда одна половина значений экспериментальных данных меньше ееего, а вто­рая половина – больше.

Для вычисления медианы несгруппированных данных выборку ранжируют, т. е. располагают данные в порядке возрастания или убывания, и в ранжированной выборке, содержащей n членов, находят ранг R (порядковый номер) медианы .  Если число членов в выборке четное, то медианой будет среднее арифметическое между двумя центральными значениями членов выборки, порядковый номер которых больше и меньше полученного значения ранга медианы.

Для нахождения медианы в случае сгруппированных данных находят интервал группировки, в котором содержится медиана, путем подсчета накопленных частостей. Медианным будет тот интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше n /2 (n – объем выборки) или частость – больше 0,5. Внутри медианного интервала медиана определяется по следующей формуле:

где х _MeН – нижняя граница медианного интервала; h – ширина ин­тервалов группировки; n_xMe–1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному; n_Me – частота медианного интервала.

Мода (Мо) представляет собой значение признака, встречающего­ся в выборке наиболее часто.

Интервал группировки с наибольшей частотой называется модальным.

Для несгруппированных данных мода – это значение признака с наибольшей частотой появления.

Для определения моды сгруппированных данных используется следующая формула:

где x_MoH – нижняя граница модального интервала; h – ширина ин­тервалов группировки; n_Mо – частота модального интервала; n_Mо-1 – частота интервала, предшествующего модальному; n_Mo+-1 – частота интервала, стоящего после модального.

В случае, когда все значения в группе встречаются одинаково часто, принято считать, что группа оценок не имеет моды.

Когда два соседних значения имеют одинаковую частоту и она больше частоты любого другого значения, мода есть среднее этих двух значений.

Если два несмежных значения в группе имеют равные частоты и они больше частот любого значения, то существуют две моды, а группа оценок является бимодальной.

Пример. Построить дискретный вариационный ряд и гистограмму, начертить полигон и найти среднее арифметическое, моду и медиану для следующего распределения размеров обуви  в мужском отделе обувного магазина: 39 41 40 42 41 40 42 44 40 43 42 41 43 39 42 41 42 39 41 37 43 41 37 43 42 41 40 41 38 44 40 39 41 40 42 40 41 42 40 43 39 41 41 42.

Решение.

Для построения вариационного ряда различные значения признака располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем его частоту:

Варианта	37	38	39	40	41	42	43	44
Частота	2	1	5	8	12	9	5	2

Среднее арифметическое

. Среднее арифметическое

Мода. Мо = 41,так как это значение встречается наиболее часто;

Медиана. Определим порядковый номер медианы:

.

Медиана равна среднему арифметическому 22-го и 23-го членов сгруппированных данных: Х ₂₂ = 41, Х ₂₃ = 41, следовательно,

Ме = (41+41)/2=41.

Контрольные вопросы

1.В каких научных областях деятельности применяются методы математической статистики?

2.Назовите составные части математической статистики.

3.Когда используется выборочный метод?

4.Что отражают числовые характеристики выборки?

5.Какая зависимость существует между значениями частоты и частости интервала?

6.Что представляет собой среднее значение выборки?

7.Что представляет собой медиана выборки?

8.Может ли выборка не иметь моды?

9.Может ли выборка иметь две медианы?

 

V Вопросы к экзамену

 

Информатика

1. Понятие информации в различных науках и информатике
2. Информатика, как наука. Взаимосвязь с другими науками
3. Меры информации синтаксического уровня.
4. Меры информации семантического и прагматического уровня
5. Переключательные и логические схемы
6. Системы управления и их структура. Кибернетика
7. Интуитивное определение алгоритма
8. Формы представления алгоритма
9. Понятие модели. Классификация моделей
10. Моделирование
11. Этапы решения задач с помощью компьютера
12. История развития вычислительной техники
13. Архитектура фон Неймана
14. Поколения компьютеров
15. Внутренние устройства персонального компьютера
16. Виды внешних устройств персонального компьютера. Устройства внешней памяти
17. Файлы, каталоги, программное обеспечение
18. Базовое, системное и служебное программное обеспечение
19. Прикладное программное обеспечение
20. Модели данных
21. Возникновение вычислительных сетей
22. Классификация вычислительных сетей
23. Понятие безопасности информации
24. Методы защиты информации

Математика

1.  Математика, как наука. Аксиоматический метод
2.  Математика Древнего Вавилона. Счет.
3.  Геометрическая алгебра Древней Греции. Буквенная алгебра
4.  Понятие множества. Подмножества

29.  Отношения на множестве

1.  Операции  над множествами
2.  Основные формулы комбинаторики
3.  Понятие случайного события. Определения вероятности
4.  Свойства вероятности. Полная вероятность. Формула Бейеса
5.  Понятие и виды случайных величин. Характеристики случайных величин
6. Биномиальное распределение
7. Нормальное распределение
8.  Составные части математической статистики
9.  Генеральная совокупность и выборка. Эмпирические распределения
10. Числовые характеристики выборки
11.  Понятие и свойства функции
12. Предел функции и его свойства.
13. Разрыв функции
14. История возникновения дифференциального интегрального исчисления
15. Понятие производной
16. Первообразная и неопределенный интеграл
17. Определенный и несобственный интеграл.
18. Построение графиков функций
19. Геометрические приложения определенного интеграла
20. Понятие дифференциального уравнения

 

Оглавление:

I. Пояснительная записка                                                                    332

II Учебно-тематические планы                                              443

III Теоретическая часть                                                            41211

Тема 1. Информация и информатика 121211

Тема 2. Измерение информации 18181717

Тема 3. Логические основы работы компьютера 27272626

Тема 4. Формализация и моделирование 36363535

Тема 5. Вычислительная техника 48504948

Тема 6. Программное обеспечение персональных компьютеров 58616058

Тема 7. Хранение информации 71747371

Тема 8. Передача информации 82858582

Тема 9. Обработка информации. Кодирование 91949491

Тема 10. Безопасность информации 9910210299

Тема 11. Математика как наука 111114114110

Тема 12. Элементы теории множеств. Комбинаторика 118121121117

Тема 13. Событие и вероятность 126127127123

Тема 14. Свойства вероятности 130132132127

Тема 15. Функция 136138138133

Тема 16. Дифференциальное и интегральное исчисление 142144144140

Тема 17. Приложения дифференциального и интегрального исчисления 149152152147

Тема 18. Случайные величины 154157157152

Тема 19. Виды распределений случайных величин 159162162157

Тема 20. Элементы математической статистики 165168168163

Оглавление                                                                                           176179179173