Характеристики случайной величины

Математическим ожиданием М (Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:

 

М (Х) = х ₁ р ₁ + х ₂ р ₂ + … + х _n р _n.

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине: М (С) = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М (СХ) = СМ (Х).

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин Х и Y равно сумме их математических ожиданий: M (X + Y) = M (X) + M (Y).

4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин Х и Y равно произведению их математических ожиданий: M (XY) = M (X) × M (Y).

5. Математическое ожидание разности двух случайных величин Х и Y равно разности их математических ожиданий: M (X – Y) = M (X) – M (Y).

Пример 2. Найти математическое ожидание выигрыша Х изв примера. 1.

Решение.

М (Х)= 0 · 0,9889 + 1 · 0,01 + 100 · 0,001 + 1000 · 0,0001 = 0,21.

Очевидно, М (Х) = 21 коп. – справедливая цена одного билета.

 

Дисперсией D (X) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:

D (X) = M [(X – M (X))²] или D (X) = M (X ²) – M ²(X).

Свойства дисперсии дискретной случайной величины:

1. Дисперсия дискретной случайной величины Х равна разности между математическим ожиданием квадрата величины Х и квадратом ее математического ожидания: D (X) = M (X ²) – M ²(X).

2. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D (С) = 0.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D (СХ) = С ² D (Х).

4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин Х и Y равно сумме дисперсий этих величин: D (X + Y) = D (X) + D (Y).

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин Х и Y равно сумме дисперсий этих величин: D (X – Y) = D (X) + D (Y).

 

Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии:

.

Пример 3. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Х	1	2	5
Р	0,3	0,5	0,2

Решение.

По свойству 1 дисперсию можно найти по формуле:

D (X) = M (X ²) – M ²(X),

где M (X ²) = · р ₁ + · р ₂+ · р ₃ = = 1² ·0,3+2² ·0,5+5²·0,2 = 7,3;

M ²(X) = (х ₁ · р ₁ + х ₂ · р₂ + х ₃ · р ₃)² = = (0,3 + 1 + 1)² = 5,29.

D (X) = 7,3 – 5,29 = 2,01.

; 1,42.

 

Интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F (x), равная вероятности того, что Х приняла значение, меньшее х:

F (x) = P (X < x).

Свойства интегральной функции распределения:

1. 0 £ F (x) £ 1

2. F(x) – неубывающая функция.

3. Вероятность попадания случайной величины Х в полуинтервал [ a; b) равна разности между значениями функции распределения и на правом и левом концах конце интервала (a; b): P (a £ X < b)= F (b)- F (a).

4. Вероятность того, что непрерывная величина Х примет какое-либо заранее заданное значение равна нулю: P (X = x ₁) = 0.

5. Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал, полуинтервал и сегмент с одними и теми же концами одинакова:

P (a < X < b) = P (a £ X £ b) = P (a £ X < b) = P (a < X £ b)

6. Если возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a; b), то

1) F (x)=0 при x £ a;

2) F (x)=1 при x ³ b.

Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины Х (или ее плотностью вероятности) называется функция f (x), равная производной интегральной функции:

f (x) = F '(x).

Теорема. Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал (a; b) равна определенному интегралу от дифференциальной функции распределения величины Х, взятому в пределах от а до b:

Свойства дифференциальной функции распределения:

1.

2. .

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f (x) называется величина несобственного интеграла (если он сходится):

Дисперсией непрерывной случайной величины Х, математическое ожидание которой М (Х) = а и функция f (x) является плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится):

Для непрерывной случайной величины Х среднее квадратическое отклонение σ(Х)определяется как и для дискретной величины.

Контрольные вопросы

1. Приведите примеры испытаний, результатом которых становятся дискретные случайные величины.

2. Приведите примеры испытаний, результатом которых становятся дискретные непрерывные случайные величины.

3. Что отражает характеристика случайной величины – математическое ожидание? Покажите на графике нормального распределения.

4. Обоснуйте справедливость равенства р ₁ + р ₂ + … + р_n = 1, используемого в законе распределения случайных величин.