Предел функции и его свойства

Пусть f (x) – функция непрерывного аргумента. Число A называется пределом функции y = f (x) при x ® x ₀, если для любого сколь угодно малого числа e >0 можно указать зависящее от e число d >0, такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству | x ₀– x |< d, имеет место неравенство: | A – f (x)|< e.

На языке e – d (ипсилон–дельта):

Свойства пределов:

1. Если предел функции существует, то он единственен.

2. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине.

3. Если при х ® х ₀ существуют конечные пределы функций f (x) и g (x), а a и b – произвольные числа, то

4. Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы:

5. Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы и

         :         

Если при х ® х ₀ функция f (x)®0, то ее называют бесконечно малой величиной в окрестности точки х ₀.

Если f (x) при х ® х ₀ в пределе стремится к бесконечности, то она называется бесконечно большой величиной в окрестности точки х ₀.

Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, а также:

Пример 1:  Вычислить пределы: ; ;

Решение.

 

Разрыв функции

Непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью ее графика при прохождении данной точки (без отрыва карандаша от листа бумаги).

Дадим аргументу x ₀ приращение D x. Тогда функция y= f (x) получает приращение D y, определяемое как разность наращенного и исходного значения функции: D y = f (x ₀+D x)– f (x ₀).

Функция y= f (x) называется непрерывной в точке x ₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Если значение f (x) стремится к числу b ₁ по мере стремления x к а со стороны меньших значений, то число b ₁ называют левосторонним пределом функции f (x) при x ® а:

Если значение f (x) стремится к числу b ₂ по мере стремления x к а со стороны больших значений, то число b ₂ называют правосторонним пределом функции f (x) при x ® а:

Величина | b ₁– b ₂| называется скачком или разрывом. Левосторонний и правосторонний пределы объединяются в понятие односторонний предел.

Точка a называется точкой разрыва функции y= f (x), если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают следующие виды точек разрыва:

1. Точка разрыва первого рода – существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при x ® a, неравные друг другу.

Пример 21. Найти точки разрыва функции и установить их тип:

.

Решение.

Точка разрыва:   a =0. Левосторонний предел:   b ₁=1.  Правосторонний предел: b ₂= 0.

 

 

 

2. Точка разрыва второго рода – хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.

Пример 32.  Найти точки разрыва функции:

. иИ установить их тип.

Решение.

Точка разрыва:   a = 0. Левосторонний предел: b ₁=+¥.  Правосторонний предел: b ₂= – ¥.

 

 

 

2. Точка устранимого разрыва. Если с помощью добавочного условия, определяющего функцию f (x) в точке разрыва, можно разрывную функцию превратить в непрерывную 

Пример 43.  Найти точки разрыва функции: .

иИ установить их тип.

Решение.

Точка разрыва:   a =-2. Левосторонний и правосторонний пределы равны: b ₁= b ₂ =4.

 

Функция y= f (x) называется непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Таблица основных элементарных функций

№ п/п	Функ-ция	Область определе-ния	Область значения	Четность, нечетность	Монотонность	Периодич--ность

Степенная функция