Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Принцип максимума в задаче о быстродействии
Наиболее известным приложением принципа максимума является решение задачи о быстродействии, в которой функционал системы управления имеет вид: . (1.10) Решение данной задачи на основе принципа максимума дается следующей теоремой [8]. Теорема 1. (Принцип максимума Понтрягина). Пусть объект описывается уравнением (1.1), а на управление наложены ограничения вида (1.6). Предположим, что для заданного конечного состояния выполнено: 1. Существует оптимальный в смысле быстродействия процесс перехода их произвольной начальной точки в конечную точку . 2. Время перехода является непрерывно дифференцируемой функцией, т.е. существуют частные производные . (1.11) 3. Время перехода имеет при вторые непрерывные производные по , а правые части уравнений (1.1) имеют первые непрерывные производные по . Тогда если процесс , , осуществляющий перевод объекта (1.1) из состояния в состояние , является оптимальным, то существует такое нетривиальное решение системы (1.9), что для любого момента , выполнено условие максимума , (1.12) . (1.13) Рассмотрим пример решения задачи об оптимальном быстродействии для объекта вида , (1.14) . (1.15) Необходимо перевести объект (1.14), (1.15) из начального состояния в начало координат (0,0) за минимально возможное время. Так как в рассматриваемом случае функция , то максимум функции Н (1.8) не зависит от постоянной составляющей. В этом случае можно рассматривать эту функцию без постоянной составляющей : . (1.16) Тогда согласно (1.9) из (1.16) получаем уравнения для сопряженных переменных . (1.17) Решая уравнения (1.17), получаем: , (1.18) где – постоянные интегрирования. Т.к. функция H (1.16) зависит от управления линейно, то она достигает максимума на границах управления, т.е. при управлении, равном:
. (1.19) Подставляя (1.8) в (1.19), получаем . (1.20) Из выражения (1.20) видно, что управление может менять знак только один раз. Т.е. оптимальное управление является кусочно постоянной функцией, принимающей значения +1 или -1 и меняет знак не более одного раза т.к. выражение меняет знак не более одного раза. Таким образом, вначале управление постоянное и равно +1 или -1. Затем в момент времени управление меняет знак на противоположный. В конечный момент времени , когда система достигает нуля, управление равно нулю. Выражение (1.20) задает только структуру управления, для нахождения управления необходимо вычислить его знак на первом интервале, момент переключения знака и момент обнуления управления . Технология нахождения указанных параметров программного оптимального управления следующая. 1. Пусть заданы положительные начальные условия . Тогда на первом интервале управление должно быть отрицательным, т.е. . Если на первом этапе знак управления выбран неверно, то полученная в результате система уравнений не даст допустимых решений и приведенные ниже вкладки необходимо построить при другом начальном знаке управления. Для первого интервала запишем систему (1.14) . (1.21) Решая систему (1.21), получаем . (1.22) Для второго интервала при из (1.14) получаем . (1.23) Решая систему (1.23), получаем . (1.24) Для нахождения постоянных интегрирования в решениях (1.22) и (1.24) воспользуемся начальными и конечными условиями. Так, подставляя начальные условия в (1.22), получаем . (1.25) В конечный момент времени , поэтому для момента времени из (1.24) получаем . (1.26) Подставляя постоянные интегрирования из (1.25), (1.26), перепишем выражения (1.22), (1.24) в виде . (1.27) . (1.28)
Так как выражения (1.27) и (1.28) являются одним решением дифференциального уравнения, то из условий непрерывности, получаем, что в момент времени решения (1.27) и (1.28) равны . (1.29) Решая систему (1.29), получаем искомые моменты времени и . Пусть начальные условия равны . Подставив их в систему (1.29), получим следующие значения моментов времени и . Проведем моделирование полученной системы управления в пакете Matlab. Файл – сценарий для моделирования имеет вид, представленный ниже. %--------------------------------------------- clc clear all close all x0=[1;1]; t1=1+0.5*(6)^(1/2); t2=1+(6)^(1/2); [t,x]=ode45('time_optimal1',[0 3.5],x0,[],t1,t2); figure(1); hold on; grid on; plot(t,x(:,1)); figure(2); hold on; grid on; plot(t,x(:,2)); figure(3); hold on; grid on; plot(x(:,1),x(:,2)); %------------------------------------------------- Вначале производится очистка экрана, переменных и закрытие графических окон. Далее в программе задаются начальные условия и моменты переключения и снятия управления. После этого с помощью функции ode45 решается система дифференциальных уравнений, размещенная в специальной ode-функции с именем time_optimal1. В конце программы осуществляется построение переменных состояния и фазового портрета системы. ode-функции с именем time_optimal1, оформляемая в отдельном файле с тем же именем, представлена ниже. %--------------------------------------------- function y=time_optimal1(t,x,flag,t1,t2) u=-1; if(t>t1) u=1; end if(t>t2) u=0; end y=[x(2); u]; %------------------------------------------------- В первой строке файла помещается заголовок функции, имя которой должно совпадать с именем файла и с именем, используемым при вызове данной функции. В качестве аргументов функции выступают время t, вектор переменных x, флаг flag, содержащий настройки параметров интегрирования и перечень входных параметров (в данном случае моменты t 1 и t 2). Далее определяется оптимальное управление, как функция времени. В конце функции задаются правые части уравнений объекта. На рис. 1.1 – 1.3 представлены результаты моделирования оптимальной системы программного управления: переходные процессы по переменным и фазовая траектория. Рисунок 1.1 – Переходный процесс по Рисунок 1.2 – Переходный процесс по На рис. 1.2 хорошо заметны моменты переключения и снятия управления. Также из результатов моделирования видно, что моделируемая система обладает некоторыми погрешностями, что связано с погрешностями интегрирования. Ошибки, присутствующие в системе управления, обусловлены тем, что используется программное управление. Рисунок 1.3 – Фазовая траектория оптимальной системы Рассмотрим процедуру построения фазового портрета оптимальной по быстродействию системы для рассмотренного объекта управления (1.14), (1.15). Рассмотрим систему (1.23) при . Разделив первое уравнение (1.23) на второе, получим . (1.30) Решая уравнение (1.30), находим . (1.31) Т.е. при отрезок фазовой траектории представляет собой дугу параболы. Аналогично при , из (1.21) получаем . (1.32) . (1.33) Семейство фазовых траекторий для оптимальной по быстродействию системы управления объектом (1.14) представлено на рис. 1.4.
Рисунок 1.4 – Фазовый потрет оптимальной системы 1.4. Проектное задание 1 Для объекта управления, описываемого системой (1.14), используя принцип максимума, синтезировать оптимальное по быстродействию управление для начальных условий и ограничений, заданных вариантом из табл. 1.1. Используя приведенный пример, промоделировать полученную систему в Matlab. Таблица 1.1 – Варианты заданий
Продолжение таблицы 1.1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-07; просмотров: 126; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.218.168.16 (0.035 с.) |