Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

 

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений в символьном виде в MATLAB существует команда dsolve. Она может быть использована, если решение существует в аналитическом виде. Практически это означает, что командой dsolve можно пользоваться только при поиске решения линейного дифференциального уравнения (или системы линейных уравнений).

 

Пример

 

Решить дифференциальное уравнение  с начальным условием x (0)=10. Построить график решения в интервале [–0,5; 7].

 

Порядок ввода:

>> x=dsolve('Dx=–0.5*x','x(0)=10')

>> ezplot(x,[–0.5,7]);

>> grid

 

В результате получим функцию х =10 e ^{–1/2 t} и график (рис. 11).

 

Рис. 11. График функции-решения уравнения

 

Пример

 

Решить систему однородных дифференциальных уравнений  

с начальными условиями x ₁(0)=0, x ₂(0)=1. Построить график решения в интервале [–0,5; 13].

 

Порядок ввода:

>> [x1,x2]=dsolve('Dx1= –0.5*x2','Dx2=3*x1','x1(0)=0','x2(0)=1')

>> ezplot(x1,0,13)

>> grid

>> hold on

>> ezplot(x2,[0,13])

В результате получим функции  и. Графики функций показаны на рис. 12.

 

Рис. 12. Графики функций х ₁ и х ₂

 

Пример

 

Решить систему неоднородных дифференциальных уравнений

 

с нулевыми начальными условиями и построить график решения в интервале [0; 5] для первой x ₁ координаты и в интервале [0; 9] для второй x ₂ координаты.

 

Порядок ввода:

>> [x1,x2]=dsolve('Dx1= –3*x1+12','Dx2=2.5*x1–1.25*x2',...

'x1(0)=0','x2(0)=0')

>> ezplot(x1,[0,5])

>> grid

>> hold on

>> ezplot(x2,[0,9])

 

В результате получим функции x ₁=4–4 e ^{–3 t} , x ₂=8+40/7∙ e ^{–3 t} –96/7∙ e ^{–5/4 t} и график (рис. 13).

 

 

Рис. 13. Графики функций х ₁ и х ₂

 

Пример

 

Решить дифференциальное уравнение 2-го порядка  

с нулевыми начальными условиями и построить график решения в интервале [–0,2; 9].

 

Порядок ввода:

>> x=dsolve('2.5*D2x+3*Dx+5*x=12','Dx(0)=0','x(0)=0')

>> ezplot(x,[–0.2 9])

>> grid

 

В результате получим x =  и график (рис. 14).

 

Пример

 

Построить график решения дифференциального уравнения 3-го порядка с нулевыми начальными условиями в интервале [–0,2; 21]:  

 

 

Рис. 14. График функции-решения уравнения

 

Порядок ввода:

>> x=dsolve('1.5*D3x+4*D2x+3*Dx+5*x=12','D2x(0)=0', …

'Dx(0)=0','x(0)=0')

>> ezplot(x,[–0.2 21])

>> grid

 

В результате получим график, показанный на рис. 15.

 

Рис. 15. График решения уравнения

 

Пример

 

Решить неоднородную систему дифференциальных уравнений третьего порядка с нулевыми начальными условиями:

 

 

Порядок ввода:

>> [x1,x2,x3]=dsolve('Dx1= –x1+10','Dx2=2*x1–x3',...

'Dx3=2.5*x1–3*x2–2*x3','x1(0)=0','x2(0)=0','x3(0)=0')

 

В результате получим функции x ₁=10–10 e ^{– t} , x ₂=15/8∙ e ^{–3 t} +35/8∙ e^t –5–
–5/4∙ e ^{– t} , х ₃=45/8∙ e ^{–3 t} –35/8∙ e^t –85/4∙ e ^{– t} +20.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9

 

I. Решить дифференциальные уравнения при заданном начальном условии и построить графики решения любых трех уравнений:

 

 

II. Решить дифференциальные уравнения старшего порядка при заданных начальных условиях:

 

 

 

III. Решить системы дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях и построить графики решения:

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

 

Вариант 1

 

I. Построить цветные поверхности функции z = x ²sin x –cos y на заданных отрезках и отформатировать их по образцу:

1) на отрезке [–2; 2], шаг 0,2;         

      

2) на отрезке [–5; 5], шаг 0,5.

 

 

II. Вычислить интегралы:

  

 

III. Вычислить пределы:

 

 

IV. Вычислить производные функций:

 

V. Решить дифференциальные уравнения при заданном начальном условии и построить графики решения:

 

 

Вариант 2

 

I. Построить цветные поверхности функции z =3 x ²–sin² y на заданных отрезках и отформатировать их по образцу:

1) на отрезке [–3; 3], шаг 0,4;         

 

      

2) на отрезке [–2; 2], шаг 0,2.

 

 

II. Вычислить интегралы:

  

III. Вычислить пределы:

 

 

IV. Вычислить производные функций:

 

V. Решить дифференциальные уравнения при заданном начальном условии и построить графики решения:

 

Библиографический список

 

1. Мещеряков В.В. Задачи по математике с MATLAB& SIMULINK. – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2007.

2. Смоленцев Н. MATLAB: программирование на Visual C#, Borland jBuilder, VBA: учебный курс. – М.: DMK Пресс; СПб.: Питер, 2009.

3. Деянков В. Matlab 6: учебный курс. – СПб.: Питер, 2001.

Оглавление

 

ВВЕДЕНИЕ                                                                                                                          3

ИНТЕРФЕЙС ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ                                                                                     3

ОСНОВНЫЕ ОБЪЕКТЫ MATLAB                                                                                 4

Присвоение и вывод значений переменных и функций                                        6

Табулирование функции                                                                                              7

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1                                                                                     8

РАБОТА С МАТРИЦАМИ                                                                                                9

Операции над матрицами                                                                                           10

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2                                                                                   11

ПОСТРОЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ГРАФИКОВ                                                               12

Форматирование графиков                                                                                        15

Добавление объектов на график                                                                             19

Применение графической «лупы»                                                                           19

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3                                                                                   20

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ                                                                                              21

Матричный способ решения систем линейных уравнений                                22

Решение системы линейных уравнений методом Крамера                               22

Решение систем уравнений графическим способом                                           23

Решение систем уравнений с помощью функции solve                                      24

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4                                                                                   25

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ                                                                                               26

Графический способ решения уравнений                                                              26

Решение уравнений с помощью функции solve                                                    28

Нахождение корней полинома                                                                                 28

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5                                                                                   29

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1                                                                                     29

ПОСТРОЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ГРАФИКОВ                                                             32

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6                                                                                   34

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ                                                                                    35

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7                                                                                   35

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ                                                                                          35

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ                                                                       35

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8                                                                                   35

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ         35

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9                                                                                   35

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2                                                                                     35

Библиографический список                                                                                          35

 

 

 

Учебное издание

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ

В MATLAB

 

Методические указания

 

 

Составители: Наталья Федоровна Антипенко,

Татьяна Александровна Санькова

 

 

***

 

Редактор Т.И. Калинина   

 

***

 

Подписано к печати..2010

Формат 60×90 1/16. Бумага писчая

Оперативный способ печати

Гарнитура Times New Roman

Усл. п. л. 3,5, уч.-изд. л. 2,54

Тираж 100 экз. Заказ № ___

Цена договорная

 

 

Издательство СибАДИ

644099, г. Омск, ул. П. Некрасова, 10

Отпечатано в подразделении ОП издательства СибАДИ