Построение трехмерных графиков

 

Построение трехмерных графиков (поверхностей) во многом похоже на построение двумерных графиков. Для этого используется команда plot3, которая имеет несколько вариантов записи:

● plot3(X,Y,Z) – строит поверхность по точкам, координаты которых берутся из матриц X, Y, Z;

● plot3(X1,Y1,Z1,Х2,Y2,Z2,...) – строит несколько поверхностей Z 1, Z 2 и т. д.;

● plot3 (X,Y,Z,S) – строит поверхность заданным типом и цветом линии и точек (S – строковая константа, задающая тип и цвет линии и точек);

● plot3(X1,Y1,Z1,S1,Х2,Y2,Z2,S2,Х3,Y3,Z3,S3,...) – строит несколько поверхностей Z 1, Z 2 и т.д. заданным типом и цветом линии и точек (S 1, S 2 и т.д.).

Значения строковой константы S приведены ранее (см. табл. 4-6).

Особенно наглядное представление о поверхностях дают сетчатые графики, использующие функциональную закраску ячеек. Например, цвет окраски поверхности z(x, у) может быть поставлен в соответствие с высотой z поверхности с выбором для малых высот темных тонов, а для больших – светлых. Для построения таких поверхностей используются команды класса surf:

● surf(X,Y,Z) – строит цветную параметрическую поверхность по данным матриц X, Y и Z;

● surfc(X,Y,Z) – строит цветную параметрическую поверхность по данным матриц X, Y, Z и проекцию фигуры на опорную плоскость.

Иногда бывают полезны графики трехмерных слоеных поверхностей, как бы состоящие из тонких пластинок – слоев.

Такие поверхности строит функция waterfall:

waterfall(X,Y,Z) – строит поверхность, состоящую из тонких пластинок – слоев.

Порядок построения трехмерных графиков следующий:

1. Задать матрицы X и Y на основе диапазонов значений переменных x и y с помощью команды преобразования диапазонов значений переменных в соответствующие матрицы:

[X,Y]=meshgrid(диапазон1, дипазон2);

если диапазоны одинаковые, то

[X,Y]=meshgrid(диапазон);

2. Задать функцию Z (X, Y).

3. Построить поверхность нужного вида с помощью соответствующей команды.

4. Отформатировать график.

 

Отформатировать трехмерный график можно с помощью окна свойств графика или специальных команд (см. построение двумерных графиков). Кроме того, для форматирования цветных поверхностей есть дополнительные команды:

● colormap(gray) – задает окраску тонами серого цвета;

● shading interp – устраняет изображения линий и задает интерполяцию для оттенков цвета поверхности;

● colorbar – выводит на экран цветовую шкалу.

 

Пример

 

Построить график функции z (х, у)= х ²+ у ² на отрезке [–3; 3] с шагом 0,15.

 

Порядок ввода:

>> [X,Y]=meshgrid([–3:0.15:3]);

>> Z=X.^{^} 2+Y.^2;

>> plot3(X,Y,Z)

>> grid

 

Пример

 

Построить цветной график функции g (х, у)=5 x ∙sin x –3,5 у ² и его проекцию на отрезке [–3; 3] с шагом 0,15.

Порядок ввода:

>> [X,Y]=meshgrid([–3:0.15:3]);

>> G=5*X.*sin(Y)–3.5*Y.^2;

>> surfc(X,Y,G)

 

В результате каждого построения получим графики, показанные на рис. 9.

 

Рис. 9. Графики функций z (х, у)= х ²+ у ² и g (х, у)=5 x ∙sin x –3,5 у ²

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

 

I. Построить цветные поверхности функции z =2 x sin x +3 y cos y на заданных отрезках и отформатировать их по образцу:

1) на отрезке [–2; 2], шаг 0,2;     2) на отрезке [–5; 5], шаг 0,5.

 

 

II. Построить с помощью соответствующих команд графики функции z = x ²+ y ² на отрезке [–2; 2] с шагом 0,2. Отформатировать графики по образцу:

            

 

y

x

z

 

III. Построить цветные поверхности функций на отрезке [–4; 4] с шагом 0,2 и отформатировать их по образцу:

1) g = ;   2) ;

(x^2+y)/3*(cos3y+siny)

z

x

y

 

3), [–4; 4], шаг 0,2.

 

 

IV. Построить и отформатировать поверхность:

, [–5; 5], шаг 0,5.

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

 

Численное интегрирование (историческое название: квадратура) – вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых x = a и x = b, где a и b – пределы интегрирования (рис. 10).

Для вычисления интегралов в MATLAB можно использовать функции:

● int(f,x) – вычисляет неопределенный интеграл;

● int(f,v,a,b) – вычисляет определенный интеграл,

где f – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования, a и b – пределы интегрирования.

 

 

Пример

 

Вычислить неопределенный интеграл.

 

Порядок ввода:

>> syms x

>> f=x^3;

>> int(f,x)

 

В результате получим выражение 1/4*x^4.

 

Пример

 

Вычислить определенный интеграл.

 

Порядок ввода:

>> syms x

>> f=x^3;

>> int(f,x,1,3)

 

В результате получим значение определенного интеграла 20. Если MATLAB не выводит сразу численное значение определенного интеграла, то используйте функцию vpa, например,

>> vpa(int(f,x,1,3),3).

 

Для вычисления двойных, тройных и т.д. интегралов необходимо использовать функцию inf несколько раз.

 

Пример

 

Вычислить двойной интеграл.

 

Порядок ввода:

>> syms x y

>> f=2*x^3*y;

>> int(int(f,x),y)

 

В результате получим выражение 1/4*x^4*y^2.

 

Пример

 

Вычислить двойной интеграл.

 

Порядок ввода:

>> syms x y

>> f=2*x^3*y;

>> int(int(f,x,1,3),y, –1,2)

 

В результате получим 60.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7

 

I. Вычислить неопределенные интегралы:

 

 

                  

II. Вычислить определенные интегралы:

 

 

III. Вычислить двойные интегралы:

 

 

IV. Вычислить тройные интегралы:

 

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

 

Вычисление пределов от символьных выражений производится с помощью встроенной функции limit:

● limit(f) – вычисление предела функции f при стремлении аргумента функции к нулю;

● limit(f,a) – вычисление предела функции f при стремлении аргумента функции к числу a;

● limit(f,x,a,’left’) – вычисление предела функции f при стремлении переменной x к числу a слева;

● limit(f,x,a,’right’) – вычисление предела функции f при стремлении переменной х к числу a справа;

● limit(f,y,a) – вычисление предела функции нескольких переменных f при стремлении переменной y к числу a.

 

Примечание. Символ бесконечность () в MATLAB записывается как inf. Неопределенное значение в MATLAB записывается как NaN.

 

Пример

 

Вычислить           

 

Порядок ввода:

>> syms x

>> y=sin(x)/x;

>> limit(y)

 

В результате получим 1.

 

Пример

 

Вычислить                   .

 

Порядок ввода:

>> syms x

>> f=(2*x^3+3*x^2+1)/(x^2–2*x+3);

>> vpa(limit(f,2),3)

 

В результате получим 9,67.

 

Пример

 

Вычислить      

 

Порядок ввода:

>> y=(1+1/x)^x;

>> limit(y,inf)

 

В результате получим exp(1), т.е. число е.

 

Пример

 

Вычислить

 

Порядок ввода:

>> y=1/x;

>> limit(y,x,0,'left')

В результате получим – inf, т.е. минус бесконечность.

 

Пример

 

Вычислить

 

Порядок ввода:

>> y=1/x;

>> limit(y,x,0,'right')

 

В результате получим inf, т.е. бесконечность.

 

Пример

 

Вычислить

 

Порядок ввода:

>> syms x h

>> y=(sin(x+h)–sin(x))/h;

>> limit(y,h,0) % Вычисление предела по переменной h

 

В результате получим cos x.

 

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ

 

Дифференцирование функций в MATLAB осуществляется с помощью функции diff.

Для функций одной переменной:

● diff(f) – вычисляет первую производную функции f;

● diff(f,k) – вычисляет производную k -го порядка функции f.

Для функций нескольких переменных:

● diff(f,х) – вычисляет первую производную функции f по переменной x;

● diff(f,x,k) – вычисляет производную k -го порядка функции f по переменной x.

 

Пример

 

Вычислить производную функции y=2x³–3x²+3.

Порядок ввода:

>> syms x

>> y=2*x^3–3*x^2+3;

>> diff(y)

 

В результате получим 6 х ²–6 х.

 

Пример

 

Найти производную функции y =sin(x + h) по переменной х.

 

Порядок ввода:

>> syms x h

>> y=sin(x+h);

>> diff(y,х)

 

В результате получим cos(x + h).

 

Пример

 

Найти производную функции y = по переменной h.

 

Порядок ввода:

>> syms x h

>> y=sin(x+h)/x;

>> diff(y,h)

 

В результате получим cos(x + h)/ x.

 

Пример

 

Найти вторую производную функции y =5/ х.

 

Порядок ввода:

>> syms x

>> diff(5/x,2)

 

В результате получим 10/ х ³.

 

Пример

 

Найти вторую производную функции y =3 x ³ h –2 h ² x ²+3 по переменной х.

 

Порядок ввода:

>> syms x h

>> y=3*x^3*h–2*h^2*x^2+3

>> diff(y,x,2)

 

В результате получим 18 xh –4 h ².

 

Пример

 

Найти третью производную функции y = по переменной h.

 

Порядок ввода:

>> syms x h

>> diff(3*h^2*log(x)+3*exp(h),h,3)

 

В результате получим 3 e^h.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8

 

I. Вычислить пределы функций:

 

 

 

II. Вычислить производные функций:

 

III. Вычислить производные старших порядков: