Условие прочности при деформации растяжения – сжатия

,

где  – максимальное значение нормальной силы; F – площадь поперечного сечения.

    Для круглого поперечного сечения .

Абсолютное удлинение отдельных участков бруса

     Используя закон Гука, получим

,

где − коэффициент линейного расширения материала;  − изменение температуры;  − жесткость стержня при растяжении;  − модуль  продольной упругости Эйлера – Юнга.

Если − постоянная величина, то  

.

 

Пример 3.Статически определимая задача деформации растяжения-сжатия

    Для бруса, имеющего различные площади поперечных сечений участков и находящегося под действием продольных сил (рис. 3.10, а), используя метод сечений, построить эпюру нормальных сил N. Из условия прочности определить диаметры круглых поперечных сечений. Построить эпюры нормальных напряжений и продольных перемещений. Принять материал стержня – сталь с допускаемым напряжением [σ] = 160 МПа и модулем продольной упругости Е = 2·10⁵ МПа.

Дано: q = 10 кН/м; Р = 80 кН; ℓ₁ = 1 м; ℓ₂ = 1,8 м; ℓ₃ = 1,2 м; [σ] = 160 МПа;

Е = 2·10⁵ МПа.

Решение:

1. Определение опорной реактивной силы

     Уравнение равновесия сил, направленных по оси , имеет вид

 ,

откуда  кН.

2.Определение внутренних нормальных сил  методом сечений
и построение эпюры N(z)

     Стержень имеет три участка, границами которых служат сечения, где приложены внешние силы . Для обнаружения нормальных сил на этих участках используем метод сечений. Мысленно рассекаем стержень на
каждом из участков на расстояниях  и рассматриваем равновесие одной из частей рассеченного стержня, заменяя действие отброшенных частей внутренними нормальными силами  (рис. 3.11).

 

 

Рис. 3.10. Пример расчета статически определимой конструкции, находящейся под действием продольных сил: а – расчетная схема бруса переменного поперечного сечения; б –  эпюра внутренней нормальной силы N (z)  ; в – эпюра нормального напряжения σ (z); г – эпюра продольных перемещений сечений бруса Δ (z)

     В результате получаем уравнения равновесия:

Участок АВ () – см.рис. 3.11 б:

.

Участок ВС () – см.рис. 3.11 в:

;

; .

Участок CD () – см. рис. 3.11 г:

.

     Нормальные силы на каждом из участков известны, что позволяет легко построить эпюру внутренних нормальных сил N(z) (см. рис. 3.10 б).

 

 

Рис. 3.11.Метод сечений для определения внутренних нормальных сил N:

  а – расчетная схема нагружения бруса; б – определение N_AB;

в – определение N_BC; в – определение N_CD

 

3. Определение диаметров сечения бруса

Из условия прочности бруса по нормальным напряжениям находим для каждого рассматриваемого участка отношение N/F:

Участок АВ: .

Участок ВС: .

Участок С D:   

Максимальное значение N/F получили для участка CD, для которого применим условие прочности:

или ,

откуда .

Т.к. площадь круга , то . Принимаем d = 7,2 см = 72 мм, тогда .

4. Построение эпюры нормальных напряжений σ (z).

     Вычисляем напряжения в поперечном сечении для каждого участка бруса:

.

.

.

.

     По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений  σ (см. рис.3.10 в).

5. Построение эпюры продольных перемещений сечений бруса Δ (z).

Для построения эпюры перемещений вычисляем абсолютные удлинения отдельных участков бруса, используя закон Гука

,

где − коэффициент линейного расширения материала;  − изменение температуры;  − жесткость стержня при растяжении;  − модуль упругости Эйлера – Юнга.

Участок АВ:  м.

Участок ВС:

Участок CD:  м.

     Определение перемещений сечений бруса начинаем с неподвижного закрепленного конца. Сечение А расположено в заделке, оно не может смещаться и его перемещение равно нулю.

.

 м.

 м.

 м.

     По полученным значениям строим  эпюру  продольных  перемещений сечений бруса Δ(z) (см. рис.3.10 г).

 

Задание №2 для курсового проектирования

«Статически определимая задача деформации растяжения-сжатия»

Для бруса (рис.3.12), имеющего различные площади поперечных сечений участков и находящегося под действием продольных сил, используя метод сечений, построить эпюру нормальных сил N (z). Из условия прочности определить диаметры круглых поперечных сечений. Построить эпюры нормальных напряжений σ(z) и продольных перемещений сечений бруса Δ(z). Провести анализ напряженного состояния для опасных сечений. Принять материал стержня – сталь с допускаемым напряжением [σ]=160 МПа и модулем продольной упругости Е=2·10⁵ МПа.

 

Варианты схем балок рис.3.12	Значения параметров
	q, кН/м	P, кН	ℓ1, м	ℓ2, м	ℓ3, м
1,15	40	40	1,0	0,8	1,2
2,16	30	50	1,5	0,5	1,0
3,17	25	60	1,8	1,2	1,0
4,18	15	80	1,0	1,8	1,2
5,19	50	10	0,5	1,5	1,0
6,20	60	20	1,2	0,8	1,0
7,21	20	50	1,0	1,5	0,5
8,22	10	60	1,2	1,0	0,8
9,23	15	40	1,2	1,4	1,6
10,24	25	30	0,6	1,6	1,0
11,25	20	60	1,4	1,2	0,8
12,26	10	80	1,0	1,2	1,4
13,27	25	20	0,8	1,5	1,0
14,28	15	70	1,6	0,6	1,2

Рис.3.12. Расчетные схемы балок при деформации растяжения-сжатия

Рис.3.12 (продолжение). Расчетные схемы балок при деформации растяжения-сжатия