Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

12.3.1. Вычислить площадь той части поверхности , которая находится над прямоугольником, лежащим в плоскости  и ограниченным прямыми , , , .

Решение. Найдем элемент площади поверхности: . Теперь легко найдем искомую площадь: .

12.3.2. Вычислить площадь части параболоида , вырезанной цилиндром .

Решение. Поверхность задана уравнением , отсюда . Двойной интеграл, выражающий площадь, равен . Для его вычисления перейдем к полярным координатам: .

12.3.3. Вычислить часть поверхности конуса , отсекаемую цилиндром .

Решение. В этом примере надо найти часть поверхности конуса, лежащую над кругом  радиуса . Площадь круга равна . Вычислим элемент поверхности конуса:

, .

12.3.4. Вычислить площадь части земной поверхности, считая ее сферой радиуса км, заключенной между меридианами ,  и параллелями  и .

Решение. Используя приведенную в пункте 12.1 формулу элемента площади в сферических координатах для сферы с уравнением , получим . Следует учесть, однако, (ср. замечание в пункте 11.1), что географическая широта  и угол  связаны соотношением , поэтому в нашем примере  и . Отсюда

  км².

12.3.5. Вычислить интеграл , где  – полная поверхность конуса  при .

Решение. И боковая поверхность конуса, и его основание имеют одну и ту же проекцию на плоскость , а именно: круг радиуса , заданный неравенством . Поэтому будем вычислять поверхностный интеграл отдельно для основания и для боковой поверхности. На основании , поэтому интеграл равен . Для боковой поверхности элемент площади равен  (см. пример 12.3.3). Функция интегрирования  на боковой поверхности равна , отсюда поверхностный интеграл равен

. Интеграл по всей поверхности получим сложением: .

12.3.6. Вычислить интеграл , где  – поверхность тетраэдра , , , .

Решение. Поверхность тетраэдра состоит из четырех граней, интеграл по каждой из которых будем вычислять отдельно. Грань, лежащая в плоскости , проектируется на плоскость  в треугольник, ограниченный осями ,  и прямой . Уравнение поверхности этой грани , откуда . Таким образом, поверхностный интеграл по этой грани равен .

Оставшиеся три грани расположены в координатных плоскостях. Для грани, расположенной в плоскости , , поэтому . Интегралы  и  по плоскостям  и  равны.

Найдем, например  

. Здесь мы учли, что на плоскости  и что . Теперь найдем окончательный ответ:

.

12.3.7. Вычислить , где  — часть плоскости , отсеченная координатными плоскостями.

Решение. Из уравнения плоскости удобнее выразить , тогда элемент площади поверхности равен . Проекция поверхности  на координатную плоскость  является треугольником , ограниченным прямой  и осями координат. Запишем соответствующий двойной интеграл: .

12.3.8. Найти координаты центра масс восьмой части однородной сферы , , , .

Решение. Очевидно, в силу симметричности координаты ,  и  центра масс восьмой части сферы в указанной системе координат совпадают, поэтому найдем значение аппликаты. Воспользуемся выражением элемента площади сферы, вычисленным в пункте 12.1:

. 

Здесь было учтено, что проекция восьмой части сферы на плоскость  является четвертью круга и имеет площадь . Итак, центр масс находится в точке .

 

12.4. Задачи для самостоятельного решения

ЧАСТЬ В) ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

12.4.1. Найти площадь: а) части поверхности , вырезанной цилиндром   и плоскостью ; б) части гиперболического параболоида , вырезанной цилиндром ; в) части , вырезанной поверхностью .

12.4.2. Найти центр масс части однородного параболоида , отсеченной плоскостью .

12.4.3. Вычислить поверхностный интеграл , где – часть плоскости , лежащая в первом октанте.

12.4.4. Вычислить , где  – часть плоскости , лежащая в первом октанте.

12.4.5. Вычислить , где  – полусфера .

12.4.6. Вычислить , где – цилиндр , ограниченный плоскостями  и , а  – расстояние от точки цилиндра до начала координат.

12.4.7. Вычислить , где – часть поверхности , отсеченная цилиндром , а  – расстояние от точки поверхности до оси .

12.4.8. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна квадрату расстояния от этой точки до некоторого фиксированного диаметра сферы.

 

Ответы. 12.4.1. а) ; б) ; в) . 12.4.2. . 12.4.3. . 12.4.4. . 12.4.5. . 12.4.6. . 12.4.7.  . 12.4.8. .