Определение тройного интеграла

ЗАНЯТИЕ №6

ЧПСТЬ А)

ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Определение тройного интеграла

Тройной интеграл  определяется совершенно аналогично двойному интегралу — как предел интегральных сумм при бесконечно мелком разбиении области (см. пункт 8.1). Необходимым условием интегрируемости является ограниченность подынтегральной функции, а достаточным — её непрерывность.

Рис. 10.1

 

ЧАСТЬ Б)

(ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ)

ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Цилиндрические координаты — это , где  — аппликата точки, а  — полярные координаты проекции этой точки на координатную плоскость . Таким образом, , а . Произведение дифференциалов при переходе от декартовых координат к цилиндрическим заменяется по правилу  (ср. п. 9.2), а интегрирование обычно производится в таком порядке:

.

Здесь  и  — переписанные в цилиндрических координатах уравнения нижней  и верхней  границ области интегрирования  (рис. 10.1), т. е. , .

Рис. 11.1

Сферические координаты для точки с декартовыми координатами определяются так:  — расстояние от начала отсчета до этой точки,  — угол между проекцией радиус-вектора точки на плоскость  и осью  и  — угол между радиус-вектором точки и осью  (см. рис. 11.1). Связь между декартовыми и сферическими координатами точки выражается формулами:

, , . Произведение дифференциалов при переходе к сферическим координатам заменяется по правилу

.

 

Очевидно, что , ,  (или ). Предпочтительный порядок интегрирования — внутреннее по , промежуточное по  и внешнее по углу :

.

Заметим, что иногда угол  отсчитывают не от оси , а от плоскости . Тогда , и во всех приведенных формулах надо заменить  на , а  — на .

 

ЧАСТЬ В)

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА

ЧАСТЬ В) ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

12.4.1. Найти площадь: а) части поверхности , вырезанной цилиндром   и плоскостью ; б) части гиперболического параболоида , вырезанной цилиндром ; в) части , вырезанной поверхностью .

12.4.2. Найти центр масс части однородного параболоида , отсеченной плоскостью .

12.4.3. Вычислить поверхностный интеграл , где – часть плоскости , лежащая в первом октанте.

12.4.4. Вычислить , где  – часть плоскости , лежащая в первом октанте.

12.4.5. Вычислить , где  – полусфера .

12.4.6. Вычислить , где – цилиндр , ограниченный плоскостями  и , а  – расстояние от точки цилиндра до начала координат.

12.4.7. Вычислить , где – часть поверхности , отсеченная цилиндром , а  – расстояние от точки поверхности до оси .

12.4.8. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна квадрату расстояния от этой точки до некоторого фиксированного диаметра сферы.

 

Ответы. 12.4.1. а) ; б) ; в) . 12.4.2. . 12.4.3. . 12.4.4. . 12.4.5. . 12.4.6. . 12.4.7.  . 12.4.8. .

 

 

ЗАНЯТИЕ №6

ЧПСТЬ А)

ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Определение тройного интеграла

Тройной интеграл  определяется совершенно аналогично двойному интегралу — как предел интегральных сумм при бесконечно мелком разбиении области (см. пункт 8.1). Необходимым условием интегрируемости является ограниченность подынтегральной функции, а достаточным — её непрерывность.

Рис. 10.1