Поле диполя. Второй важнейший источник.

В теле человека монополь существует в составе диполя. Диполь является важнейшим видом источников биосигналов. Пусть (как и в случае монополя) мы имеем большое проводящее тело. В центре на расстоянииℓдруг от друга размещены два сферических электрода с источниками V_D: положительныйD+ и отрицательный D-. Электроды D+ и D- образуют диполь (рис 2.10).

Согласно принципа суперпозиции поле диполя U_Д в любой точке А находится как разность полей двух монополей D+ и D-:

U _АД ( Ŕ ) = (V_{D *} D /2)_*{1/ L ₊ - 1/ L -} =

= (ρ _* I_D / 8 π)_*{1/ L ₊ - 1/ L _- },

    гдеL₊ и L_- - расстояния от точки наблюдения А до центров источников D+ и D-, V _D-напряжение диполя, I_D - ток диполя.. Важно отметить, что сопротивление пространства между сферами D диполя не зависит от расстояния ℓ. (Вы можете проверить этот факт измеряя сопротивление тестером между двумя штекерами погруженными в соленую воду). Это сопротивление равно удвоенному значению сопротивления внешнего пространства монополя, т.е. R_DD = ρ /2 π D. Зная R_DD переход от V_D к I_D осуществляется по закону Ома. Точно так же форма поля не зависит от ρ пространства.

В двух крайних случаях формула упрощается. Пусть L+ и L- много больше ℓ. ВведемрасстояниеŔ от центра диполя к точке наблюдения А и угол φ между вектором диполя и направлением на точку А. Вектор диполя расположен в центре диполя и направлен к положительному заряду. Обозначения ясны из рис 2.7. После замены   L на Ŕ имеем:

    U_Д( Ŕ,φ ) = V_D ( D * ℓ/2Ŕ ²)_*cos φ =

                   =(M /8 π Ŕ ²)_* cos φ, Ŕ>>ℓ.

Здесь   M = q ℓ=4 π V_DDℓ= 2 ρ I_D ℓ; - момент диполя, q - эквивалентный заряд диполя, ℓ -расстояние между диполями D, ρ - удельное сопротивление.

  Если точка А внутри диполя и Ŕ<<ℓ, то получаем другое выражение:

       U_Д( Ŕ, φ ) =   4 V_D( D/ℓ ²)* Ŕ_* cos φ,

Диаграмма поля U_Д( Ŕ,φ), Ŕ=const в функции угла φ в обоих случаях предстанет в виде восьмерки (см рис 2.7).  Это диаграмма направленности поля диполя. В отличие от монополя поле диполя U_Д (при φ = const, Ŕ>>ℓ ) спадает уже как квадратичная гипербола (В зоне Ŕ<<ℓ поле нарастает с увеличением Ŕ). Резкое падение поля с расстоянием затрудняет измерение глубоко лежащих от поверхности тела диполей. На оси симметрии между источниками D (перпендикулярно вектору М диполя) поля двух монополей в точности компенсируют друг друга. На этой линии (плоскости) поле диполя равно нулю.

Форма эквипотенциалей поля более сложна, чем восьмерка диаграммы направленности. Для нахождения эквипотенциалей надо зафиксировать конкретное значение U на выбранном уровне (например 1мВ) и находить точки пространства Ŕ, φ, где поле соответствует этому уровню. Форма эквипотенциалей близка к восьмерке, но суженой и дополненной внутренней зоной между электродами D.

Для описания поля диполя кроме координат его центра (x_о,y_о,z_о) требуется знание момента диполя М и двух его направляющих углов θ, φ (или три проекции М: всего шесть параметров).               

Практическое применение

    В реальных случаях повсеместно встречаются две разновидности дипольных систем. У первой дипольное расстояние ℓ очень мало по сравнению с расстоянием до точки измерения. Это клеточные структуры нейронов и мышц при наблюдении поверхностными электродами. Такие диполи удобно характеризовать моментом М. Форма их эквипотенциалей имеет вид восьмерки. Во второй разновидности дипольные центры D расположены на большом расстоянии. Это случай токовых электродов физиотерапевтических приборов, а так же некоторые другие (рис 2.11). Здесь мы интересуемся внутренним полем диполя.

Как и при рассмотрении монополя, мы можем выделить русла тока и произвольно изменять ρ в каждом из них. Общая форма поля не изменяется. Здесь, как и для случая монополя, мы снова получаем практически важный результат: полная картина поля от электродов, расположенных на поверхности тела точно описывается в достаточно простых формулах, несмотря на то, что половина проводящей среды отброшена.

Около каждого электрода поле повторяет форму поля монополя. Между электродами - внутреннее поле диполя. На том же рисунке показано, как источник - диполь, расположенный близко к поверхности черепа формирует внешнее поле, воспринимаемое электродами.

Используя принцип линейности (наложения) несложно определить форму поля для электродов различной формы, например, больших и плоских. Электрод надо заменить композицией множества сферических электродов и находить их суммарное поле.