Закономерности электрических сигналов в дискретных цепях

(Этот раздел можно пропустить знающим электротехнику)

Основные понятия. Электрические цепи. Ток, напряжение, сопротивление (резистор), проводимость. Законы Ома, законы Киргофа. Линейность цепей. Емкость как накопитель зарядов. Реактивные и комплексные сопротивления. Частотные искажения. Переходная и частотная характеристики. Экспонента, как решение дифференциального уравнения цепей из резисторов и емкостей. Преобразование Фурье. Фильтры ФНЧ, ФВЧ.

2.1 Законы Ома и Киргофа

Знание законов электрических цепей необходимо по трем причинам: 1) медицинские приборы выполняются из сосредоточенных элементов. 2) При расчете потенциалов в теле часто используют замену сплошной среды сетью сосредоточенных элементов. 3) Для цепей сосредоточенных элементов хорошо разработаны законы преобразования сигналов.

Типовые элементы цепей из сосредоточенных элементов показаны на рис 2.1, 2.2.  Нас интересуют измерения в цепях, поэтому обязательно в схеме должны присутствовать измерительные приборы, например осциллографы. Кроме того нужны элементы управления, например, выключатели. Детали схем заменяются эквивалентными схемами, как показано на рис 2.1, 2:2)

В каждом резисторе напряжение V и ток I связаны законом Ома (рис 2.3):                                 V = I * R,

 

 Напряжение V отлично отэлектродвижущей силы ( ЭДС ) источника, т.к. при протекании тока часть напряжения теряется, "падает" на внутреннем сопротивлении r. Разветвленность электрической цепи может быть произвольно сложной. Такие цепи рассчитываются с использованием законов Киргофа (рис 2.4). Киргоф в сети элементов выделил "узлы" - точки соединения разных элементов и "контура" - произвольно проведенные замкнутые пути протекания токов.

 Первый закон Киргофа гласит: В каждом узле сумма токов I равна 0 (сколько тока втекает, столько и вытекает).

 Второй закон Киргофа: В каждом контуре сумма попавших в этот контур ЭДС Е равна сумме падений напряжений V на резисторах этого контура.

Используя эти правила можно найти напряжения и токи в любом элементе произвольно сложной цепи, а так же найти коэффициенты передачи "К" между разными участками цепи.

При рассмотрении сложных цепей очень удобно использовать теорему об эквивалентном источнике: любую выделенную часть контуров цепи для упрощения можно отбросить, заменив подключенным к оставшимся граничным узлам эквивалентный источник вместо отброшенной цепи. ЭДС эквивалентного источника выбранной пары узлов равна Е _ХХ этой пары (напряжение в режиме холостого хода - хх), а внутреннее сопротивление этого эквивалентного источника равно отношению Е _ХХ узлов к токам I_КЗ (короткого замыкания) при замыкании этих узлов.

Законы для переменного тока

Если ЭДС изменчива во времени, а цепь состоит из одних резисторов R, то форма тока I в точности повторяет форму изменения ЭДС. Такая цепь не искажает форму сигналов. Однако если в цепях присутствуют конденсаторы С, то они накапливают заряды, что приводит к появлению остаточных напряжений V_c. Напряжения V_c связаны с накопленными зарядами Q выражением:

V_c = Q/C

Количество зарядов Q измеряется в Кулонах (в честь Кулона. Один кулон = 10¹⁹ элементарных зарядов), С - измеряется в фарадах (в честь Фарадея): при емкости 1 фарада и заряде один Кулон напряжение на конденсаторе равно 1 Вольт. Фарада = 1 кулон / вольт. Ампер =1 кулон / секунду.

Заряды Q накапливаются от втекающего в конденсатор   тока " I ", следовательно напряжение V_c (t) определяется интегральным выражением:

              V_c(t)= (1/C)∫I(t) dt.

Как результат, цепи, содержащие емкости С не подчиняются закону Ома. Происходит изменение (искажение) формы сигнала. Понятие коэффициента передачи "К" становитсяне правомочным из за возникающих искажений. Однако законы Киргофа остаются справедливыми. Связь формы тока и напряжения описывается интегральными уравнениями (обычно их переводят к дифференциальному виду).

В общем виде цепь с конденсаторами и резисторами характеризуется ее переходной характеристикой: это форма тока в цепи при резком включении ЭДС (например, ключем, см рис 2.5). Переходная характеристика описывает процесс установления токов и напряжений в цепи. Она находится решением интегрального уравнения. Если цепь состоит только из резисторов и емкостей то решение известно: переходная характеристика имеет вид набора экспонент е^-t/τ. Например, для простейшей RC цепи рис 2.5 имеем:

    Выходное напряжение V(t) = Е(1-ехр^(-t/RC)),

где t -время,  R и C - значения резистора и емкости цепи. Произведение RC называется постоянной времени цепи (и переходного процесса) и обозначается "τ".

 Пусть ЭДС имеет во времени форму прямоугольного импульса. Это эквивалентно работе ключа. Тогда на выходе будет сигнал из набора экспонент. Прямоугольный импульс исказился (см Рис 2.5). Однако есть сигнал, форма которого не искажается при прохождении RC цепей. Это синусоидальный сигнал. Синусоидальный сигнал считается "собственным" сигналом цепей с реактивными элементами (записывается Аsin(w t+φ), где А -амплитуда, t- время, w - круговая частота, w =2 π f, π =3.14..., f - частота, φ - фаза, временной сдвиг измеренный в долях периода).

При гармоническом сигнале вводится понятие реактивных сопротивлений. У конденсатора С это сопротивление записывается как Х_с=1/j w c, (j обозначает реактивную, комплексную составляющую). Совместное включение активных R и реактивны х сопротивлений Х обозначаются как Z - комплексное сопротивление. Реактивные и комплексные сопротивления зависят от частоты w. С введением реактивных сопротивлений закон Ома вновь выполняется:

I(w)=V(w) / Z(w).

Снова обретает строгий смысл понятие коэффициента передачи "К". Т,к. реактивные и комплексные сопротивления зависят от частоты w, то и К становится зависимым от частоты. Зависимость К от w называется частотной характеристикой цепи К(w). Важно помнить, что частотная и переходная характеристики однозначно связаны. Они связаны преобразованием Фурье (рис 2.6).

Преобразование Фурье и нахождение спектров сигналов.

Реальные сигналы почти никогда не имеют синусоидальной формы. Следовательно они искажаются комплексной цепью. Эти искажения называются частотными искажениями (см рис.2.5). Надо уметь их находить и оценивать. Для этого применяется или метод решения интегральных/диференциальных уравнений или метод спектрального разложения Фурье. Фурье использовал следующий искусственный прием: входной сигнал представляют в виде суммы (набора) синусоид. Это прямое преобразование Фурье (см рис.2.7). Т.к. форма синусоид заранее известна, то запоминать можно только их амплитуды. График этих амплитуд называется спектром сигнала. Каждая синусоидальная составляющая имеет свою частоту w и проходит через комплексную цепь с учетом коэффициента передачи " К(w) " по закону Ома без искажения. В результате простым перемножением спектра входного сигнала на коэффициент передачи К(w) находится спектр выходного сигнала. Получив спектр выходного сигнала, находим его форму простым суммированием синусоид спектра - обратным преобразованием Фурье.

Таким образом мы рассмотрели два метода нахождения выходного сигнала комплексной цепи: метод решения дифференциальных уравнений и метод использования двойного преобразования Фурье.Оба метода дают одинаковый результат. Применяют в зависимости от сложности формы входного сигнала и вида структуры цепи.

Цепи со специальными формами частотной характеристики К (w)  получили название фильтров. Виды типовых частотных характеристик фильтров и характерное для них преобразование сигнала показаны на рис 2.8.