Занятие 2. Нормальное распределение .

 

Нормальное распределение случайной величины, также называемое гауссовым распределением или распределением Гаусса – это распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

 

                          

 

где параметр µ — среднее значение случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² – дисперсия. Приведенная формула, а также соответствующая ей кривая (рис. 1) называются законом нормального распределения.

Согласно закону нормального распределения изменчивость какого-либо признака, подверженная влиянию множества причин, вне зависимости от природы этих случайных причин, часто соответствует нормальному распределению. Следовательно, из всех распределений в природе чаще всего встречается нормальное (отсюда и произошло одно из названий этого распределения). То есть, такие величины как рост и вес человека, многие физические и психологические характеристики деятельности человека подчиняются закону нормального распределения.

Рис. 1. График-схема, иллюстрирующая закон нормального распределения (I – стандартное нормальное распределение, где М_х = 0, σ = 1 ).

 

Важно отметить, что, если измеренное нами на какой-либо выборке некоторое свойство отличается по своему виду от нормального распределения, то это может говорить о следующем:

1. Выборка нерепрезентативна генеральной совокупности, и мы не можем

 

экстраполировать результаты наших измерений на всех представителей изучаемой генеральной совокупности;

2. Измерение производилось не в шкале равных интервалов.

 

Из этого следует, что, если мы хотим в своей работе применять статистические критерии, использующие в своих расчетах измерения в метрических шкалах, нам необходимо предварительно доказать, что используемые нами метрические шкалы распределены в соответствии с нормальным законом. Применяются графические способы доказательства (по форме кривой распределения), доказательство симметричности (по

значениям асиметрии и эксцесса), доказательства с применением статистических критериев (например, критерии Колмогорова-Смирнова или Шапиро-Уилка). Доказательства чаще всего строятся на учете свойств нормального распределения:

 

1. Функция нормального распределения непрерывна на всем своем протяжении.

 

Кривая нормального распределения берет свое начало от минус бесконечности выраженности признака и заканчивается в плюс бесконечности, то есть, кривая приближается к оси абсцисс асимптотически, никогда не касаясь ее;

 

2. Центр распределения случайной величины является центром симметрии. То есть, справедливо выражение М_х ≈ М_е ≈ М_о, а также As = 0 и Ex = 0.

 

3. Малые отклонения встречаются чаще, чем большие отклонения. То есть, частота встречаемости значений, группирующихся вокруг среднего значения, значительно выше, чем частота встречаемости значений, сильно отличающихся от среднего (в большую или меньшую сторону).

 

Последнее свойство конкретизируется для случая стандартного нормального распределения, для которого справедливо М_х = 0, σ = 1. При этом площадь под всей кривой распределения (или сумма всех возможных вероятностей выраженности признака)

 

= 1 или 100%, а площадь под кривой, ограниченной определенными интервалами будет всегда одной и той же. Например, на интервале М_х±σ площадь под кривой равна 68,26%, на интервале М_х±2σ площадь равна 95,44%, на интервале М_х±3σ площадь равна 99,72%.

 

Пример:

 

Младший научный сотрудник Василий в течение года ежедневно производил измерение выраженности у самого себя психологического свойства «Коммуникативность» и обнаружил, что она изменяется в соответствии с законом нормального распределения, а среднее значение по шкале коммуникативности Василия составляет 92 балла.

 

Вопрос: Сколько дней коммуникативность Василия была выше 96 баллов, если примерно 249 дней выраженность свойства находился в границах 90-94 балла?

 

Решение:

 

1. Для начала, необходимо найти величину стандартного отклонения. Воспользуемся знанием свойств нормального распределения и рассчитаем долю времени, когда выраженность коммуникативности находилась в интервале 90-94 балла. 249 дней от 1 года (365 дней) составляет примерно 68%. Следовательно, интервал 90-94 балла соответствует интервалу от -σ до +σ. Среднее значение = 92 баллам. Тогда σ = 2 баллам.

 

2. Далее необходимо узнать долю времени, в течение которого коммуникативность Василия диагностировалась выше 96 баллов. Можно использовать знания о свойствах нормального распределения и определить, что 96 баллов в нашем случае соответствует точке +2σ. При этом известно, что в интервале от +2σ до плюс бесконечности размещены 2,27% все случаев выраженности признака (характерной для нормального распределения).

 

Можно также воспользоваться таблицами площади под кривой стандартного нормального распределения (Приложение 1). Для этого переведем баллы нашей шкалы «Коммуникативность» в стандартные оценки с помощью формулы:

                                                    

В нашем случае: (96-92)/2 = 2. Из таблицы стандартных нормальных вероятностей находим, что доля времени составляет 0,0228 или 2,28% продолжительности всего года.

 

3. Остается узнать, сколько дней от 1 года составляет 2,28%. После составления пропорции узнаем, что этот интервал составляет 8 дней.

Задания для самостоятельной работы:

Младший научный сотрудник Василий в течение года ежедневно производил измерение выраженности у самого себя психологического свойства «Коммуникативность» и обнаружил, что она изменяется в соответствии с законом нормального распределения, а среднее значение по шкале коммуникативности Василия составляет 92 балла.

 

Вопрос (варианты заданий):

 

А. Выше какого балла поднимались результаты измерения «Коммуникативности» Василия во время 58 дней самых высоких результатов тестирования, если за 8 дней самых низких своих результатов по тесту результаты составляли меньше 90 баллов?

 

B. Сколько дней результаты измерения коммуникативности Василия составляли меньше 96 баллов, если примерно 249 дней его результаты находились в границах 90-94 баллов?

 

C. Сколько дней Василий демонстрировал результат измерения коммуникативности меньше 96 баллов, если примерно 125 дней его результативность находилась в пределах 92-94 баллов?

 

D. 58 дней Василий демонстрировал результат в тесте измерения коммуникативности больше 95 баллов. Сколько дней Василий демонстрировал результат больше 98 баллов?

 

E. 58 дней Василий демонстрировал результат в тесте измерения коммуникативности меньше 90 баллов. Сколько дней Василий демонстрировал результат больше 96 баллов?