Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ:  Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия ЭкологияТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву 
Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Математические методы в психологии (Практикум со сборником задач )Стр 1 из 12Следующая ⇒
Д. Н. Волков
Математические методы в психологии (Практикум со сборником задач) Оглавление
Предисловие
Настоящий практикум является дополнительным материалом к изучению курса «Математические методы в психологии», читаемого студентам второго курса дневного отделения (3 курса вечернего отделения) факультета психологии Санкт-Петербургского государственного университета.
Основные информационные материалы представлены в лекциях к вышеуказанному курсу, а также в материалах неоднократно переиздававшегося учебного пособия А. Д. Наследова «Математические методы психологического исследования» (2008). В практикуме представлены только избранные информационные блоки теории, связанные с такими темами как «Измерительные шкалы», «Нормальное распределение», «Проверка статистических гипотез», которые необходимы для подготовки студентов к практическому применению знаний математических методов.
В практикуме также представлен отдельный раздел, включающий в себя сборник практических задач, решение которых поможет студентам успешно освоить курс «Математические методы в психологии», подготовиться к зачетным испытаниям и применять свои знания и умения при решении задач своих собственных исследований.
Раздел 1. Занятия практикума
Меры положения (квантили)
Квантиль – это точка на числовой шкале, которая делит совокупность наблюдений на две части с известными пропорциями в каждой из них. Наиболее известный из квантилей – медиана, делящая распределение пополам. Помимо медианы существует еще несколько видов квантилей: квартили, квинтили, децили и процентили. Три квартиля делят совокупность наблюдений на четыре части, четыре квинтиля – на пять частей, девять децилей – на десять частей, а девяносто девять процентилей – на 100 частей. Для определения квантилей, как и для определения медианы, совокупность наблюдений должна быть упорядочена либо по возрастанию значений случайной величины, либо по ее убыванию, в зависимости от исследуемой переменной.
Правила выбора статистического критерия
Все возможные варианты содержательных гипотез в зависимости от типа шкал, зависимости или независимости выборок, количества исследуемых групп можно свести к нескольким типичным исследовательским ситуациям.
Ситуация 2 – два признака измерены в качественных (номинативных) шкалах
В этом случае производится анализ номинативных данных, реализуемый с помощью классификаций, таблиц сопряженности, последовательностей. Производится сравнительный анализ частот распределения признака по группам (градациям номинативной переменной). Наиболее часто применяемые методы:
1. Критерий χ 2 -Пирсона. Применяется для анализа классификаций и таблицсопряженности. 2. Критерий Мак -Нимара. Применяется для таблиц сопряженности2х2сповторными измерениями.
Анализ классификаций
В этом случае производится сопоставление реально измеренных частот и теоретических предполагаемых частот. Классифицируя в процессе эмпирического исследования объекты исследования, мы задаем эмпирическое распределение частот измеренного признака. Например, мы можем измерять, сколько человек предпочитает следить или не следить за своим здоровьем. Далее, мы можем сопоставить измеренный признак с теоретическим конструктом, основанным на наших предположениях, сколько людей выбирает здоровый или нездоровый образ жизни. Например, соотношение может быть 50/50 – в этом случае теоретическим распределением будет являться распределение равномерное.
Пример:
Существует предположение, что математики могут решить в 4 раза больше сложных математических задач, чем артисты; инженеры могут решить в 3 раза больше задач, а психологи могут решить в 2 раза больше задач, чем артисты. Проверьте это предположение, если по результатам психодиагностики известно, что математики решили 50 задач, инженеры решили 30, психологи – 15, а артисты – 5 задач.
Решение задачи: составим таблицу для удобства решения.
Анализ таблиц сопряженности
Поскольку в таблицах сопряженности присутствует минимум два эмпирических распределения, результат сопоставления которых зачастую интересует исследователя, теоретические частоты приходится рассчитывать дополнительно, причем рассчитываются для такого же числа ячеек, что и эмпирические частоты. Применяется та же расчетная формула χ2-Пирсона, за тем лишь исключением, что k – градации одного распределения (число строк в таблице сопряженности), а m – градации второго распределения (число столбцов в таблице сопряженности). Расчет теоретических частот осуществляется по специальному правилу: теоретическая частота каждой отдельной ячейки равна произведению суммы эмпирических частот по строке, соответствующей интересующей нас ячейке, и суммы эмпирических частот по столбцу, также соответствующему ячейке, взятых в отношении к общей сумме всех эмпирических частот.
Пример:
Скорее всего, педагоги, библиотекари и артисты достигают разного успеха в решении математических задач. Проверьте это предположение, если известно, что педагоги решили 24 задачи и не решили 16 задач, библиотекари решили 18 задач и не решили 22 задачи, артисты также решили 18 и не решили 22 задачи.
Решение задачи: составим таблицу для удобства решения.
Операции с задачами (m) | Теоретические частоты | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Профессии (k) | Решили | Не решили | Σ | Решили | Не решили | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Педагоги | 24 | 16 | 40 | 20 | 20 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Библиотекари | 18 | 22 | 40 | 20 | 20 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Артисты | 18 | 22 | 40 | 20 | 20 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Σ | 60 | 60 | 120 | 60 | 60 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Далее, применяя формулу расчета, получаем, что χ2 = 2,4.
Для того, чтобы сформулировать статистический вывод, необходимо сопоставить рассчитанный эмпирический критерий χ2 с теоретическим. Для этого обратимся к таблице критических значений в Приложении 3. Число степеней свободы df = (3-1)(2-1) = 2. Теоретическое значение критерия χ2 для р-уровня = 0,05 составляет 5,99; для р-уровня = 0,01 составляет 9,21; для р-уровня = 0,001 составляет 13,82. Эмпирическое значение ниже всех представленных теоретических значений, соответственно мы вынуждены принять основную гипотезу об отсутствии различий между двумя эмпирическими распределениями.
Ответ: χ2 = 2,4; р > 0,05. Статистически достоверных различий между распределениями не обнаружено. Педагоги, библиотекари и артисты не достигают одинакового успеха в решении математических задач.
Задание для самостоятельной работы:
Скорее всего, педагоги, библиотекари и артисты достигают одинакового успеха в решении математических задач. Проверьте это предположение, если известно, что педагоги решили 16 задач и не решили 24 задачи, библиотекари решили 22 задачи и не решили 18 задач, артисты также решили 22 и не решили 18 задач.
2,3
88
87
91
93
87
88
99
85
90
95
98
86
80
79
89
В
|
|
2,3
92
93
100
86
94
103
92
96
104
85
95
93
94
97
101
С
2,3
93
82
83
90
102
97
94
88
99
89
93
95
93
90
92
D
2,3
92
87
90
90
94
99
80
87
90
89
90
87
79
85
96
Е
2,3
121
115
110
116
112
123
114
117
115
112
114
106
119
105
111
После
92
92
91
90
92
94
95
71
70
90
95
96
72
90
89
В
После
92
82
93
91
94
99
75
72
71
96
95
96
97
98
96
С
После
93
82
83
90
102
97
94
88
99
89
93
95
93
90
92
D
После
92
87
90
90
94
99
80
87
90
89
90
87
79
85
96
Е
После
|
|
124
108
110
104
105
128
129
109
111
112
102
106
112
105
105
Критерий U-Манна -Уитни
Самым популярным и наиболее чувствительным аналогом критерия t-Стьдента для независимых выборок является критерий U-Манна-Уитни. При этом критерий U – это общее число тех случаев, в которых значения одной группы превосходят значения другой группы. Таким образом, рассчитываются два критерия – для каждой группы свой. Затем из двух значений эмпирического критерия U выбирается наименьшее, которое сопоставляется с теоретическим значением.
Пример:
Профессор Абрикосов заинтересован в тщательном изучении особенностей двух разных групп спортсменов (альфа и бета) на предмет выраженности у них такого личностного свойства как «тревожность». Отличаются ли две группы спортсменов, тренировавшихся в течение года по двум разным системам подготовки по уровню выраженности у них тревожности? Обратите внимание, что предположения о нормальности распределения и однородности дисперсий не выполняются.
Решение задачи: для удобства представим расчеты в таблице.
| № | Х (альфа) | Y (бета) | Ранги Х | Ранги Y |
| 1 | 51 | 65 | 2 | 8 |
| 2 | 69 | 70 | 9 | 10,5 |
| 3 | 60 | 80 | 6 | 13,5 |
| 4 | 72 | 80 | 12 | 13,5 |
| 5 | 82 | 89 | 15 | 20 |
| 6 | 87 | 99 | 18 | 24 |
| 7 | 92 | 89 | 22 | 20 |
| 8 | 89 | 85 | 20 | 16,5 |
| 9 | 54 | 70 | 3 | 10,5 |
| 10 | 55 | 61 | 4 | 7 |
| 11 | 49 | 59 | 1 | 5 |
| 12 | 85 | 96 | 16,5 | 23 |
| Σ | 128,5 | 171,5 |
Подставляя результаты расчетов предложенную выше формулу, получаем U1 = 93,5. U2 = 50,5. Выбираем наименьшее значение критерия.
Для того, чтобы сформулировать статистический вывод, необходимо сопоставить рассчитанный эмпирический критерий U с теоретическим. Для этого обратимся к таблице критических значений в Приложении 5. Теоретическое значение критерия U для р-уровня = 0,05 составляет 37; для р-уровня = 0,01 составляет 27. Эмпирическое значение выше всех представленных теоретических значений, соответственно мы вынуждены принять основную гипотезу об отсутствии различий в выраженности количественного признака у спортсменов двух разных групп.
Ответ: U = 50,5; р > 0,05. Результаты тренировки спортсменов группы альфа и группы бета статистически достоверно не различаются.
Задания для самостоятельной работы:
Профессор Абрикосов заинтересован в тщательном изучении особенностей двух разных групп спортсменов (альфа и бета) на предмет выраженности у них такого личностного свойства как «тревожность». Отличаются ли две группы спортсменов, тренировавшихся в течение года по двум разным системам подготовки по уровню выраженности у них тревожности? Обратите внимание, что предположения о нормальности распределения и однородности дисперсий не выполняются.
| А | Группа «Альфа» | 35 | 54 | 45 | 57 | 67 | 72 | 77 | 74 | 39 | 70 | 34 | 70 | |
| Группа «Бета» | 50 | 55 | 65 | 55 | 74 | 84 | 74 | 70 | 55 | 46 | 44 | 81 | ||
| В | Группа «Альфа» | 50 | 69 | 60 | 72 | 82 | 87 | 92 | 89 | 54 | 55 | 49 | 85 | |
| Группа «Бета» | 65 | 70 | 80 | 80 | 89 | 99 | 89 | 85 | 70 | 61 | 59 | 96 | ||
| С | Группа «Альфа» | 53 | 85 | 63 | 75 | 85 | 90 | 95 | 92 | 57 | 58 | 52 | 88 | |
| Группа «Бета» | 67 | 72 | 82 | 72 | 91 | 101 91
| 87 | 72 | 63 | 61 | 98 | |||
| D | Группа «Альфа» | 36 | 55 | 45 | 57 | 67 | 72 | 77 | 74 | 39 | 40 | 34 | 70 | |
| Группа «Бета» | 50 | 68 | 67 | 55 | 74 | 84 | 74 | 70 | 55 | 46 | 44 | 81 | ||
| Е | Группа «Альфа» | 36 | 55 | 45 | 57 | 67 | 72 | 77 | 74 | 39 | 40 | 34 | 70 | |
| Группа «Бета» | 50 | 56 | 65 | 55 | 74 | 84 | 74 | 70 | 55 | 46 | 44 | 81 | ||
Критерий Т -Вилкоксона
Самым мощным аналогом критерия t-Стьюдента для зависимых выборок является критерий Т-Вилкоксона, основанный на упорядочивании (ранжировании) величин разностей (сдвигов) значений признака в каждой паре измерений. Пару составляются зависимые объекты. Например, объекты, оказывающие значительное влияние друг на
друга, или одни и те же объекты, измерение которых производилось с отсрочкой по времени.
T =∑ R r
Пример:
Продолжая свою работу по изучению тревожности, профессор Абрикосов задался целью оказать психотерапевтическое влияние на спортсменов группы «Альфа». Можно ли утверждать, что тревожность спортсменов изменилась, если в эмпирическом исследовании получены следующие результаты (см. таблица ниже). Воспользуйтесь для расчетов критерием Вилкоксона, поскольку для распределения не соблюдается нормальный закон.
Решение задачи: для удобства представим расчеты в таблице.
| № | до (Х 1) | после (Х 2) | Разность | Ранги | Ранги (+) |
Ранги (-)
(Х 1 – Х 2)
(Х 1 – Х 2)
Подставляя результаты расчетов предложенную выше формулу, получаем Т1 = 10,5. Т2 = 67,5. Выбираем наименьшее значение критерия.
Для того, чтобы сформулировать статистический вывод, необходимо сопоставить рассчитанный эмпирический критерий Т с теоретическим. Для этого обратимся к таблице критических значений в Приложении 6. Теоретическое значение критерия Т для р-уровня = 0,05 составляет 13; для р-уровня = 0,01 составляет 7. Эмпирическое значение ниже одного из представленных теоретических значений, соответственно мы можем отклонить основную гипотезу и принять альтернативную о наличии различий в выраженности количественного признака у спортсменов по итогам психотерапии.
Ответ: Т = 10,5; р ≤ 0,05. В результате психотерапии спортсменов группы «альфа» выраженность уровня тревожности статистически достоверно изменилась.
Задания для самостоятельной работы:
Продолжая свою работу по изучению тревожности, профессор Абрикосов задался целью оказать психотерапевтическое влияние на спортсменов группы «Альфа». Можно ли утверждать, что тревожность спортсменов изменилась, если в эмпирическом исследовании получены следующие результаты (см. таблица ниже). Воспользуйтесь для
расчетов критерием Вилкоксона, поскольку для распределения не соблюдается нормальный закон.
| А | До терапии | 38 | 55 | 45 | 57 | 67 | 72 | 77 | 74 | 39 | 55 | 34 | 70 | |
| После терапии | 50 | 68 | 67 | 55 | 74 | 84 | 74 | 69 | 55 | 46 | 44 | 81 | ||
| В | До терапии | 35 | 54 | 45 | 58 | 68 | 72 | 77 | 74 | 39 | 60 | 34 | 70 | |
| После терапии | 50 | 55 | 65 | 55 | 74 | 84 | 74 | 70 | 55 | 46 | 44 | 81 | ||
| С | До терапии | 51 | 69 | 60 | 72 | 82 | 87 | 92 | 89 | 54 | 55 | 49 | 85 | |
| После терапии | 65 | 70 | 80 | 80 | 89 | 99 | 89 | 85 | 70 | 61 | 59 | 96 | ||
| D | До терапии | 53 | 85 | 63 | 75 | 85 | 90 | 95 | 102 57 | 58 | 52 | 88 | ||
| После терапии | 67 | 72 | 82 | 72 | 91 | 101 | 91 | 87 | 72 | 63 | 61 | 98 | ||
| Е | До терапии | 38 | 55 | 45 | 57 | 67 | 72 | 77 | 74 | 39 | 60 | 34 | 70 | |
| После терапии | 50 | 68 | 67 | 55 | 74 | 84 | 74 | 69 | 55 | 46 | 44 | 81 | ||
Раздел 2. Сборник задач для самостоятельной работы
При решении задач рекомендуется использовать алгоритм 3.2., предложенный в разделе 1 / занятие 3 практикума. Предложенные в нем правила в целом соответствуют требованиям к решению практической задачи во время контрольных мероприятий (зачет). Задачи, отмеченные * относятся ко второму варианту, не отмеченные – к первому.
Задача 1.
Существует мнение, что учителя выносят оценки мальчикам и девочкам, акцентируя свое внимание на разных чертах личности. Например, при выставлении положительных оценок мальчикам учителя чаще связывают эти оценки с активностью (15 случаев) и старательностью (10 случаев), чем с дисциплинированностью (5 случаев) мальчиков. А при оценивании девочек – связывают эти оценки чаще с дисциплинированностью (15 случаев) и старательностью (10 случаев), чем с активностью (5 случаев). Помогите проверить вышеуказанную гипотезу о разных предпочтениях в оценке мальчиков и девочек относительно черт личности.
Задача 2*.
Существует мнение, что учителя выносят оценки мальчикам и девочкам, акцентируя свое внимание на разных чертах личности. Например, при выставлении положительных оценок девочкам учителя чаще связывают эти оценки с трудолюбием (15 случаев) и самостоятельностью (10 случаев), чем со смелостью (5 случаев) девочек. А при оценивании мальчиков – связывают эти оценки чаще со смелостью (15 случаев) и самостоятельностью (10 случаев), чем с трудолюбием (5 случаев). Помогите проверить вышеуказанную гипотезу о разных предпочтениях в оценке мальчиков и девочек относительно черт личности.
Задача 3.
Изучалось предположение о наличии предпочтений школьников, студентов и аспирантов при выборе супергероя на должность президента страны. Оцените, насколько это предположение верно, если известны результаты опроса 120 респондентов. При этом школьники говорят «да» супергерою в 30 случаях и «нет» - в 10 случаях, студенты говорят «да» в 20 случаях, «нет» - в 20 случаях, аспиранты говорят «да» в 10 случаях, «нет» - в 30 случаях.
Задача 4*.
Изучалось предположение о наличии предпочтений школьников старших классов, студентов и аспирантов при выборе специальности «космонавт» в качестве идеального образа будущей профессии. Оцените, насколько это предположение верно, если известны результаты опроса 120 респондентов. При этом школьники верят, что будут космонавтами в 10 случаях, не верят – в 30 случаях, студенты верят, что будут космонавтами в 20 случаях, не верят - в 20 случаях, аспиранты верят в 30 случаях, не верят - в 10 случаях.
Задача 5.
Профессору Карлсону во сне приснился новый способ измерения коэффициента интеллекта. Профессор сконструировал несколько новых заданий и решил оценить, эквивалентны ли эти новые задания уже существующим заданиям. Для проверки гипотезы случайным образом были выделены 2 группы: экспериментальная группа (5 человек, которые выполняли новые задания) и контрольная группа (5 человек, которые выполняли старые задания). Проверьте вышеуказанную гипотезу о принципиальном равенстве заданий в двух группах, если известны результаты выполнения тестовых заданий?
Экспериментальная группа: 30 сек, 35 сек, 1 м. 30 сек, 3 м, 3 м. 30 сек. Контрольная группа: 50 сек, 2 м. 50 сек, 3 м. 40 сек, 4 м. 50 сек, 5 м.
Задача 6*.
Профессору Кларсону во сне приснился новый способ измерения терпеливости. Профессор сконструировал несколько новых психодиагностических заданий и решил оценить, эквивалентны ли эти новые задания уже существующим заданиям. Для проверки гипотезы случайным образом были выделены 2 группы: экспериментальная группа (5 человек, которые выполняли новые задания) и контрольная группа (5 человек, которые выполняли старые задания). Проверьте вышеуказанную гипотезу о принципиальном равенстве заданий в двух группах, если известны результаты выполнения тестовых заданий? Контрольная группа: 30 сек, 35 сек, 1 м. 30 сек, 3 м, 3 м. 30 сек. Экспериментальная группа: 50 сек, 2 м. 50 сек, 3 м. 40 сек, 4 м. 50 сек, 5 м.
Задача 7.
Проводилась экспертная оценка уровня значимости во многих профессиональных сферах такой черты личности как дисциплинированность. Оценка осуществлялась по 25-бальной шкале: от 1 балла (максимальный уровень значимости, предельная важность) до 25 (минимальный уровень значимости). Российские специалисты выставили следующие оценки: 1, 15, 4, 2, 8. Европейские специалисты оценили качество по-другому: 10, 22, 25, 17, 18. Можно ли обнаружить различия в оценках российских и европейских специалистов?
Задача 8*.
Проводилась экспертная оценка успешности внедрения новой социальной рекламы. Оценка осуществлялась по 25-бальной шкале: от 1 балла (максимальный уровень значимости, предельная важность) до 25 (минимальный уровень значимости). Европейские специалисты выставили следующие оценки: 1, 15, 4, 2, 8. Российские специалисты оценили качество по-другому: 10, 22, 25, 17, 18. Можно ли обнаружить различия в оценках российских и европейских специалистов?
Задача 9.
Проводится апробация нового варианта терапевтического воздействия с целью выведения человека из травмирующего стрессового состояния. С этой целью испытуемый помещается в реальные стрессогенные условия жизнедеятельности. Затем в данных условиях проводится измерение времени ответа на вопрос, требующий логического анализа и взвешенного ответа. После этого проводятся процедуры терапевтического воздействия, а затем вновь генерируются условия реального стресса и производится второе измерение времени ответа. Можно ли говорить об эффективности терапевтического воздействия, если результаты измерений (в секундах) следующие: №1 (45, 30, 31, 38, 35, 58, 51), №2 (20, 15, 10, 16, 40, 28, 31).
Задача 10*.
Проводится апробация нового варианта тренинга целеустремленности и настойчивости. С этой целью испытуемому предлагается решить «неразрешимую задачу» и производится измерение времени попытки ее решения. После этого организуется тренинг и производится второе измерение времени решения. Можно ли говорить об эффективности тренинга, если результаты измерений (в секундах) следующие: №1 (145, 130, 131, 138, 135, 158, 151), №2 (120, 115, 110, 116, 140, 128, 131).
Задача 11.
Производится оценка субъективного ощущения «радости жизни» (по 25-бальной шкале) как результата тренинга уверенности. С этой целью осуществляется измерение субъективного ощущения до тренинга и по его завершению. Можно ли говорить об эффективности тренинга, если известны результаты измерений: «До тренинга» (10, 12, 18, 20, 22, 23, 25) и «После тренинга» (3, 6, 4, 25, 23, 20, 23).
Задача 12*.
Производится оценка психического состояния пациента клиники (по 100-бальной шкале) до и после проведения операции. Можно ли говорить об изменении состояния, если известны результаты измерений: «До операции» (60, 68, 73, 71, 81, 94, 97) и «После операции» (25, 38, 50, 96, 91, 72, 84).
Задача 13.
Позитивный психолог Кимерсен производит оценку субъективного ощущения «счастья» (по 25-бальной шкале) как результата специально разработанного «тренинга счастья» (чем больше балл, тем счастливее себя чувствует человек). С этой целью осуществляется измерение субъективного ощущения до тренинга и по его завершению. Проверьте, эффективен ли тренинг, если известны результаты измерений. «До тренинга»: 2, 5, 3, 24, 22, 19, 25. «После тренинга»: 9, 11, 17, 20, 21, 22, 23.
Задача 14*.
Заботливый доктор Курфюрсен регулярно производит оценку психического состояния пациентов своей клиники (по 100-бальной шкале) до и после проведения операции. Проверьте гипотезу об изменении состояния пациента, если известны результаты измерений. «До операции»: 60, 68, 73, 71, 81, 94, 97. «После операции»: 25, 38, 50, 96, 91, 72, 84.
Задача 15.
