Отношения между суждениями по истинности

 При сопоставлении различных мнений по спорным вопросам и во многих других случаях важно знать о существовании определенных типов отношений между суждениями по истинности. Каждый тип отношений фиксирует определенную зависимость истинностного значения одного суждения от значения другого суждения. Устанавливая отношения между суждениями, мы должны исходить из того, могут ли быть эти суждения вместе истинными или не могут; могут ли они быть вместе ложными или нет; обусловливает ли истинность одного суждения истинность другого, означает ли ложность одного из них, что ложным должно быть и другое? Надо заметить, что подобного рода зависимости можно установить тогда, когда суждения имеют одни и те же термины и различаются по качеству или количеству. Такие суждения называются сравнимыми.

 Среди сравнимых выделяют совместимые и несовместимые суждения. Если сравнимые суждения могут быть одновременно истинными, то они называются совместимыми. Несовместимыми называются такие сравнимые суждения, которые не могут быть одновременно истинными.

Совместимость бывает трех видов: равнозначность (эквиваленция), подчинение, частичное совпадение (субконтрарность). Отношения несовместимости подразделяются на противоположность (контрарность) и противоречие (контрадикторность). Указанные виды отношений (кроме  равнозначности) принято изображать в виде схемы — логического квадрата (рис. 3.8).

А         Противоположность        Е

                                I   Частичное совпадение   Е

 

                                Рис. 3.8. Логический квадрат

 

    Логический квадрат позволяет легче запоминать различные отношения, которые существуют между суждениями А, I, Е, О. На этой схеме буквы, обозначающие виды суждений (А, I, Е, О) помещаются в углах квадрата. Стороны и диагонали представляют собой отношения между суждениями. Теперь рассмотрим каждое из этих отношений.

  Противоречие. В отношении противоречия находятся сужения, соединенные диагоналями логического квадрата, т.е. А и О, а также Е и I. Противоречащие суждения не могут быть одновременно истинными или одновременно ложными. Они всегда имеют разные значения истинности. Если одно из них истинно, то другое непременно ложно, и наоборот. Сравните следующие суждения: "Все студенты нашей группы сдали зачет по логике" и "Некоторые студенты нашей группы не сдали зачет по логике".

     Противоположность. Это отношение существует между общеутвердительными (А) и общеотрицательными (Е) суждениями. Эти суждения не могут быть одновременно истинными, но они могут быть одновременно ложными. Убедимся в этом на примере: "Все студенты нашей группы сдали зачет по логике" (А), "Ни один студент нашей группы не сдал зачет по логике" (Е). Если допустить, что суждение А истинное, то в этом случае суждение Е будет только ложным. Если же соотнести эти суждения с ситуацией, при которой лишь некоторые студенты данной группы имеют зачет по логике, то в данном случае окажется, что и А, и Е будут ложными. Следовательно, зная, что одно из противоположных суждений ложное, мы не можем  только на этом основании установить истинностное значение другого (другое суждение может быть как истинным, так и ложным).

    Равнозначность. Сравнимые суждения считаются равнозначными, если они всегда принимают одинаковые логические значения. Равнозначными будут суждения, которые выражают одну и ту же мысль в различной форме. Это может быть в случае, когда термины (или один из них) выражены в суждениях разными по содержанию, но равнообъемными понятиями. Например: "Автор романа "Война и мир" родился в 1829 году", "Л.Н. Толстой родился в 1829 году". В этих высказываниях субъекты выражены различными по форме, но равнообъемными понятиями. Еще один пример: «Юрий Гагарин – первый космонавт» и «Юрий Гагарин первым совершил полет в космическое пространство». Равнозначными будут также такие два суждения, одно из которых представляет собой отрицание суждения, противоречащего другому суждению. Например, суждение "Все врачи имеют медицинское образование" будет равнозначно суждению "Неверно, что некоторые врачи не имеют медицинского образования". Первое из приведенных суждений является общеутвердительным (А), второе представляет собой отрицание частноотрицательного суждения (не-О). Следовательно, А равнозначно не-О (А ≡ не-О). Точно также О ≡ не-А, I ≡ не-Е, Е ≡ не-I.

     Подчинение. В отношении подчинения находится суждения А и I, а также Е и О. Суждение А является подчиняющим по отношению к суждению I, которое рассматривается как подчиненное. Соответственно, Е — подчиняющее, а О — ему подчиненное.

Отношения подчинения характеризуются тем, что: 1) из истинности подчиняющего суждения следует с необходимостью истинность подчиненного; 2) из ложности подчиненного вытекает ложность подчиняющего; 3) из истинности подчиненного не следует истинность подчиняющего; 4) из ложности подчиняющего не следует ложность подчиненного.

  Частичное совпадение). Данный вид отношения существует между частноутвердительными (I) и частноотрицательными (О) суждениями. Оба этих суждения могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Если одно из них ложно, то другое непременно истинное. Рассмотрим в качестве примера два суждения: "Некоторые студенты нашей группы сдали зачет по логике" (I), "Некоторые студенты нашей группы не сдали зачет по логике" (О). В ситуации, когда, предположим, 15 человек из 20 сдали зачет по логике, оба эти суждения окажутся истинными. А теперь попытайтесь представить себе ситуацию, при которой оба эти суждения оказались бы ложными... Ложность, например, суждения О "Некоторые студенты нашей группы не сдали зачет по логике" означает, что в группе нет таких студентов, которые бы не сдали зачет. Следовательно, суждение I "Некоторые студенты нашей группы сдали зачет по логике" будет истинным. Если же нам известно, что одно из этих суждений истинно, то на этом основании определить значение другого суждения нельзя. Оно может оказаться как истинным, так и ложным.

 

Отрицание простых суждений.

    Отрицание простых суждений представляет собой логическую операцию, в результате которой в противовес одному суждению формулируется противоречащее ему суждение. Например, отрицанием суждения «Все средства хороши для достижения цели» будет суждение «Некоторые средства для достижения цели не являются хорошими». При этом исходное суждение называют отрицаемым, а новое суждение – отрицающим. Но это разделение довольно условное, ибо противоречащие суждения не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными, они всегда имеют разные логические значения. Поэтому отношения противоречия можно охарактеризовать как отношения взаимного отрицания суждений.

    Отрицанием общеутвердительного суждения (Все S есть Р) будет частноотрицательное суждение (Некоторые S есть Р). Отрицанием частноотрицательного суждения будет общеутвердительное суждение. Отрицанием общеотрицательного суждения (Ни одно S не есть Р) будет частноутвердительное суждение (Некоторые S есть Р). Отрицанием частноутвердительного суждения будет общеотрицательное суждение.

    В процессе отрицания меняется как качественная, так и количественная характеристики суждения. Если отрицается утвердительное суждение, то в результате получается отрицательное, а если отрицается отрицательное, то получается утвердительное суждение. Отрицание общего суждения превращает его в частное, а частное в результате отрицания превращается в общее. Количественная характеристика не меняется только при отрицании единичных суждений.

              Отрицание нельзя отождествлять с отрицательными суждениями. Отрицательное суждение (S не есть Р) является таковым само по себе, безотносительно к какому-либо другому суждению. В этом случае речь идет о качественной характеристике суждения, т.е указывается на полную или частичную несовместимость терминов суждения – субъекта и предиката. А отрицание суждения предполагает наличие исходного суждения и формулирование в противовес ему противоречащего суждения. Смысл этой операции состоит в том, что отрицание изменяет логическое значение исходного суждения на обратное. Если исходное суждение истинное, то его отрицание будет ложным, а если отрицаемое суждение ложное, то его отрицание будет истинным. К этой операции прибегают тогда, когда считают какое-то высказывание ложным (подобная оценка может и не соответствовать действительности) и стремятся к внесению ясности. Поэтому часто отрицание происходит в форме, когда отрицаемому суждению предпосылают речевые обороты «неверно, что», «неправда, что», «ложно, что», или частицу «не». Сущность этой операции можно выразить еще и так: суждение, которое собираются отрицать, подводят под логический оператор отрицания. Например, суждение «Все люди хорошо разбираются в политике» можно отрицать так: «Неправда, что все люди хорошо разбираются в политике», или «Не все люди хорошо разбираются в политике». Оба эти варианта равнозначны суждению «Некоторые люди не разбираются хорошо в политике.

 

Сложные суждения

     Сложным называется суждение, состоящее из нескольких простых суждений, соединенных с помощью логических союзов (связок). При анализе сложных суждений не учитывается внутренняя структура исходных простых суждений, последние в данном случае рассматриваются как элементарные (нечленимые) единицы суждения. В схемах сложных суждений для представления простых суждений используют строчные буквы латинского алфавита р, q,r, s и т.д. (пропозициональные переменные). Логические особенности сложного суждения зависят от того, при помощи какого союза связаны между собой простые суждения, входящие в его состав. Сразу обратим внимание на то, что речь идет именно о логических (а не грамматических) союзах. Это означает, что логические союзы имеют свои свойства, которые далеко не совпадают со свойствами грамматических союзов. По грамматическому союзу нельзя однозначно определить логический союз. Один и тот же логический союз может быть выражен различными грамматическими союзами. С другой стороны, один и тот же грамматический союз может выражать разные логические союзы. Логический союз может быть выражен и не в словесной форме – с помощью тире, знаков препинания.  

  Важнейшими логическими союзами являются: конъюнкция, нестрогая дизъюнкция, строгая дизъюнкция, импликация, эквиваленция.

     Сложные суждения в логике рассматриваются только с точки зрения их истинностных значений. Каждый логический союз выражает особую функцию, которая определяет зависимость логического значения сложного суждения от истинности составляющих его простых суждений. Определить специфику того или иного вида сложных суждений — это значит ответить на вопрос, каким образом его истинность или ложность (логическое значение) зависит от логических значений тех простых суждений, из которых состоит это сложное суждение.

Смысл логических союзов наиболее четко выражают так называемые таблицы истинности. Каждая таблица имеет входные столбцы и выходной столбец. На входе записываются все комбинации логических значений простых суждений, из которых образовано сложное суждение. В выходном столбце указывается значение сложного суждения. Условимся при этом символом "И" обозначать истинность суждения, а символом "Л" — ложность. Выраженная в таблице зависимость называется табличным определением логических связок.

    Теперь рассмотрим под данным углом зрения виды сложных суждений, которые образуются с помощью перечисленных выше логических союзов. Сложное суждение принято называть по названию того союза, с помощью которого оно образовано.

     Конъюнктивные суждения (от лат. conjunction – связь, соединение) образуются путем соединения нескольких простых суждений логическим союзом конъюнкции (логическим союзом «и»).

p	q	p Λ q
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

 

Таблица 3.4. Определение конъюнкции

 

  Выявившуюся в таблице функциональную зависимость можно интерпретировать так: конъюнктивное суждение истинно тогда и только тогда, когда истинны все суждения в его составе. Если грамматический союз "и" имеет массу смысловых оттенков, то конъюнкция (логический союз "и") указывает лишь на одно: все суждения, входящие в состав сложного суждения, полагаются истинными. Конъюнкция может быть представлена различными союзами ("а", "но", "да", "тогда как", "несмотря на то, что"), запятой и т.д. Общим во всех случаях будет одно: связывая таким образом два суждения, "обычно хотят показать, что описываемые в каждом из них факты равным образом имеют место, т.е. что оба исходных суждения истинны. С этой точки зрения пропозициональная связка "и" может быть истолкована как союз соистинности суждений.

    В логике различают коммутативную конъюнкцию, при употреблении которой мы отвлекаемся от порядка событий в действительности (когда в самой действительности последовательность не является существенной), и некоммутативную конъюнкцию, для которой существенное значение имеет последовательность описания событий. В некоммутативно-конъюнктивных суждениях утверждается последовательное возникновение или существование двух или более ситуаций. Например: "Человек совершил правонарушение и понес наказание". Это суждение не является эквивалентом суждению "Человек понес наказание и совершил преступление". Для обозначения некоммутативноконъюнктивного союза используют символ Т² Т³ и т.д. в зависимости от числа суждений, из которых образуется сложное суждение (читается: " …, а затем... ". Индексы 2, 3 и т. д. указывают на местность союза. Форма суждения с двухместным союзом Т может быть записана так: Т² (р, q ), или ( р Т q). Итак, конъюнкция — это такое объединение суждений, которое предполагает одновременную истинность каждого из них.

  Нестрогая (слабая) дизъюнкция (от лат. disjunction – разобщение, обособление). Этот вид дизъюнкции образуется путем соединения суждений союзом "или" в соединительно-разделительном его значении. Структуру этого вида суждений передает формула р v q (читается: "р или q").

 

p	q	p v q
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

 

Таблица 3.5. Определение нестрогой дизъюнкции

 

 Нестрогая дизъюнкция истинна, если истинным будет хотя бы одно суждение в ее составе, и наоборот, ложной она будет тогда и только тогда, когда ложными окажутся все простые суждения в ее составе.

Строгая (сильная) дизъюнкция. Этот вид сложных суждений выражается формулой p v q ( над V должна быть точка)(читается: либо р, либо q). Он образуется путем соединения суждений логическим союзом «либо…, либо». Строгая дизъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинно только одно суждение в ее составе. Иначе говоря, строгая дизъюнкция — это такое объединение суждений, которое допускает истинность какого-то одного из них и предполагает ложность всех остальных.

 

p	q	p v q
И	И	Л
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

 

Таблица 3.6. Определение строгой дизъюнкции

 

      Импликативные (условные) суждения (от лат. implication –сплетение, тесная связь). Суждения этого вида выражают связь основания и следствия. Они отражают реальные зависимости между предметами и явлениями, отражают причинно-следственные, пространственно-временные, функциональные связи. В них говорится, что наличие одной ситуации (основания) обусловливает наличие другой (следствия), т.е. вслед за одним событием, состоянием и т.п., рассматриваемым как основание, обязательно должно последовать другое. Но условное суждение ничего не говорит о том, как будет обстоять дело со вторым в случае отсутствия первого. Импликацией называется объединение двух исходных суждений таким образом, что истинность первого исключает ложность второго (в противном случае все сложное суждение окажется ложным). Структура импликативного суждения выражается формулой р→q (читается: если р, то q). Соответственно, часть, которой предпослано слово "если" (в нашем случае — р), называется основанием, антецедентом, предшествующим; суждение, идущее после слова "то", называется следствием, консеквентом,последующим. В приведенной выше формуле следствие обозначено символом q.

 Рассмотрим пример. "Если в обращении появляется избыток денег, то они обесцениваются". В этом суждении утверждается, что достаточным условием обесценивания денег является избыточная эмиссия. Это надо понимать так, что появление избытка денег в обращении не может не привести к их обесцениванию. В то же самое время это не означает, что нет других причин обесценивания денег. Факт обесценивания денег еще не позволяет с полной уверенностью заявить, что имела место избыточная эмиссия, т.е. последняя не является необходимым условием обесценивания денег. Следовательно, данное суждение ложным оказалось бы только в том случае, когда в обращении появился избыток денег (суждение р — истинное), а их обесценивания не произошло (q — ложное). Табличное описание импликации выглядит следующим образом (табл. 3.7):

 

p	q	p→ q
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

                  

Таблица 3.7. Определение импликации

 

    Чтобы более понятной была четвертая строчка данной таблицы, рассмотрим следующий пример. «Если ты великий писатель, то я – король Франции». Будучи уверенным в своей правоте и высказывая заведомо ложное суждение «Я – король Франции», автор этой реплики тем самым хочет показать, что и мысль о том, будто бы его оппонент великий писатель, тоже является ложной.

    Чаще всего импликация передается с помощью грамматического союза "если..., то...". Но возможны и иные способы оформления импликации: "При условии плохой видимости полеты самолетов отменяются", "Будет возможность — прочитай эту книгу", "Когда в товарищах согласья нет, на лад их дело не пойдет", "Поскольку призывник имеет серьезные отклонения в здоровье, он освобождается от службы в армии", "Назвался груздем — полезай в кузов", "Сказал "а" — говори "б". Вместе с тем, грамматический союз "если..., то..." не является исключительным признаком условного суждения, он может и не выражать импликацию. Когда его используют в сопоставительном смысле, то он выражает не импликацию, а конъюнкцию. В этих случаях грамматический союз «если, то» можно заменить в тексте союзом «а». Например: "Если студенты второго курса в должной мере владеют навыками самостоятельной работы с книгой, то у студентов первого курса имеется еще много проблем в данном отношении" или «Если бедность можно назвать матерью преступности, то недостаток разума - ее отцом» (Ж. Лабрюйер).

 Импликация не предполагает учет смысловой зависимости между своими составляющими, т.е. она допускает, что суждения в ее составе могут быть не связаны между собой по содержанию: "Если рак — рыба, то белый медведь не хищник", "Если дважды два равно пяти, то Минск расположен за Полярным кругом".

     Эквиваленция (от лат. aequivalens – равноценный, равнозначный). В суждениях эквиваленции утверждается взаимная обусловленность двух ситуаций. Например: "Если треугольник равноугольный, то он и равносторонний". (Точно так же мы можем утверждать, что "если треугольник равносторонний, то он и равноугольный"). Суждения эквиваленции обозначаются выражением p↔q (читаем: "р тогда и только тогда, когда q"; "р эквивалентно q "). Эквиваленция может передаваться также оборотами "только при условии...", "лишь в случае...", "если и только если..., то" и т.д.

 Сравнивая эквиваленцию с импликацией, нетрудно заметить определенное сходство. В речи суждение эквиваленции может быть выражено таким же образом, как и импликация. Существенным отличием эквиваленции является то, что в ней отношение между ее членами носит характер необходимой и достаточной зависимости. Антецедент в них выражает необходимое и достаточное условие для ситуации, описываемой консеквентом. А событие, описываемое консеквентом, в свою очередь, является необходимым и достаточным условием для события, описываемого антецедентом. В импликативном же суждении поменять местами антецедент и консеквент нельзя.

 Проиллюстрируем сравнение импликации и эквиваленции с помощью следующих примеров. Возьмем импликативное суждение "Если число делится на 10 (р), то оно делится и на 5 (q) ". Это суждение истинное. Если

же поменять местами антецедент и консеквент (q → р), то получится ложное суждение "Если число делится на 5, то оно делится и на 10". Теперь рассмотрим суждение эквиваленции "Если завтра вторник, то сегодня понедельник". Поменяв местами составляющие его простые суждения, получим следующее: "Если сегодня понедельник, то завтра будет вторник".                           Выявленная особенность эквиваленции позволяет рассматривать этот вид сложных суждений ( р↔q ) как конъюнкцию двух импликаций, прямой и обратной (( р→q) Λ (q→р )). Поэтому эквиваленцию еще называют двойной импликацией. Эквиваленция бывает истинной только тогда, когда логические значения суждений в ее составе совпадают (табл. 3.8).

p	q	P ↔ q
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

 

Таблица 3.8. Определение эквиваленции