Модели ошибок в дискретном канале

Обозначим входной алфавит ДК через А:

A={a₁, a₂,…,a_k}.

В общем случае выходной алфавит дискретного канала обозначим через В, он не обязательно равен входному. Пусть выходной алфавит содержит символы:

B={b₁, b₂,…..,b_j).

Для описания свойств дискретного канала необходимо задать совокупность вероятностей приема последовательностей  при условии передачи последовательности . При большой длине последовательности символов на входе канала и соответственно на выходе число переходных вероятностей будет стремиться к бесконечности. В связи с этим при построении математических моделей дискретных каналов вводятся ограничения, то есть рассматриваются последовательности ограниченной длины n, так чтобы число переходных вероятностей было ограничено и могло быть задано.

Пример.

Пусть входной и выходной алфавит дискретного канала содержат все двоичные последовательности длины n=2 символа. Рассчитаем число переходных вероятностей для этого дискретного канала.

Канал без памяти (канал с независимыми ошибками)

Если в любой момент времени вероятность появления символа на выходе дискретного канала зависит только от символа на входе канала для всех пар символов на входе и выходе, то такой дискретный канал называется каналом без памяти.

Для канала без памяти условная вероятность получения на выходе последовательности

при том, что на входе задана последовательность

определяется равенством

n – длина последовательности.

Примером дискретного канала без памяти является двоичный симметричный канал ДСК, который имеет двоичный алфавит на входе и выходе. Другое название – канал с независимыми ошибками.

Модель независимых ошибок, описываемая биномиальным распределением, является наиболее простой. Биномиальное распределение хорошо описывает ошибки в дискретном канале, причиной которых служит флуктуационный шум.

 

 

Каждый символ последовательности, поступивший на вход ДСК, с вероятностью (1-e) воспроизводится на выходе канала правильно

Р(0/0)=Р(1/1)=1- e

и с вероятностью e искажается шумом на противоположный символ

Р(1/0)=Р(0/1)= e.

1 -e - вероятность правильного приема двоичного символа

e  - вероятность ошибки в двоичном символе.

Канал называется симметричным, когда вероятность ошибки и правильного приема не зависят от символа на входе (1 или 0).

Пример.

В ДСК с e =0,1 входной алфавит содержит все двоичные последовательности длины n=3. Выходной алфавит равен входному. Требуется выбрать из пяти нижеприведенных записей правильные.

Р(101/101)=Р(101/010)

Р(100/001)=10^-3

Р(000/000)=Р(111/111)=Р(010/010)

Р(111/000)=10^-3

Р(101/010)=Р(000/111)

Двоичный симметричный канал представляют как сумматор по модулю 2, к которому подключены источник сообщений и источник ошибок. Оба источника выдают двоичные последовательности длиной n. Будем обозначать символы в последовательности ошибок e_i. Каждый элемент последовательности {e} складывается с соответствующим элементом последовательности, поступающей от источника сообщений {a}, в двоичном канале по модулю 2.

 

Там, где в последовательности ошибок {e} стоит 1, передаваемый символ изменится на обратный.  То есть в принятой последовательности {b} будет ошибка.

Переходные вероятности для двоичного симметричного канала теперь можно записать как             P (b_i / a_i)= P (e_i). Таким образом, канал полностью описывается статистикой последовательности ошибок.

Мы рассматриваем передачу последовательностей длиной n символов. Последовательность ошибок длины n называют вектором ошибок. Вектор ошибок имеет единицы только на позициях, соответствующих неправильно принятым символам. Число единиц в векторе ошибок t называют его весом.

Пример.

При передаче в ДСК последовательности , получена последовательность .

Каков вектор ошибки  и его вес t?

Ответ: