Возвращение к исходному интегралу

Формула интегрирования по частям применима и для нахождения интегралов вида  и , где а и b – числа. При нахождении этих интегралов она применяется последовательно два раза, причем оба раза за u выбирается либо показательная функция, либо тригонометрическая. После двукратного интегрирования по частям получается линейное уравнение относительно искомого интеграла.

Пример 9. Найти I = .

D   Положим , . Тогда , .

Следовательно, I = .

Для вычисления интеграла снова применим интегрирование по частям. Положим , . Тогда , .

Таким образом,                                         

I= = .

Так как в правой части стоит искомый интеграл, то, перенося его в левую часть, получим: 

.

Отсюда получаем окончательный результат:

= . Ñ

Применим изложенный метод к вычислению еще двух, часто используемых в приложении, интегралов.

Пример 10. Найти I = .

D Положим , . Тогда , . Следовательно,

(*)

Так как , то

  

(см. лекция 2, п.2б, пример 20).

Подставив полученное выражение в равенство (*), будем иметь

.

Таким образом, . Ñ

Пример 11. Найти ,     (а >0)

D Положим , , откуда , . Следовательно,

,

или .

Отсюда получаем: . Ñ

Понятие о рекуррентных формулах

Иногда интегрирование по частям позволяет получить соотношение между неопределенным интегралом, содержащим степень некоторой функции, и аналогичным интегралом, но с меньшим показателем степени той же функции. Подобные соотношения называются рекуррентными формулами.

Выведем рекуррентную формулу для интеграла , где n – целое положительное число.

D При n =1 имеем табличный интеграл .

Пусть n > 1. Представив единицу в числителе как разность , получим

           .

Во втором интеграле применим метод интегрирования по частям:

, , , .

Тогда . Следовательно,

, откуда .

Таким образом, интеграл  выражен через :

   (n >1). Ñ

Проверим нашу готовность приступить к интегрированию основных классов элементарных функций, вычислив интеграл , последовательно применяя методы непосредственного интегрирования, подведения функции под знак дифференциала и интегрирование по частям.

D

. Ñ

 

Вычислим также интеграл

I=

Далее полагаем u = e^ax , dv= cosbxdx, du= ae^axdx, v= sinbx. Следовательно

Получаем уравнение относительно неизвестного интеграла I. Решая его, находим

или = .

* Дифференциал функции сохраняет одно и то же выражение независимо от того, является ли ее аргумент u независимой переменной или функцией от независимой переменной. Это свойство называется инвариантностью, т.е. неизменностью формы дифференциала.