Основные свойства неопределенного интеграла

а) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

()' = f(x).          

Это свойство непосредственно вытекает из определения неопределенного интеграла, т. к  , а .

D Цепочка преобразований: . Ñ

Например, .

б) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

 = f(x) dx.       

Это свойство также следует из определения неопределенного интеграла. Действительно,  ,а ,

D Цепочка преобразований: . Ñ

Свойство б) означает, что знак дифференциала аннулирует знак интеграла.

Например, .

в) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С, т.е.

 или .

Действительно, dF(x)= f(x) dx. Возьмем интеграл от обеих частей равенства и получим

 Но по определению, .

D Цепочка преобразований:  = = + С. Ñ

Например,

На основании этого свойства выводятся основные формулы интегрирования (см. ниже).

г) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

(4)

 

∆ Действительно, пусть F(x) – первообразная для f(x). В силу основной

формулы (3) имеем:

,

(*)

 

где С₁ = аС, причем, С и С₁ – произвольные постоянные при а ¹ 0. Но аF(x) есть первообразная для функции аf(x), так как а [ F(x) ]' = аF'(x) = аf(x). Поэтому из формулы (*) получаем требуемую формулу (4). Ñ

       Коротко запишем: .

Действительно, производные обеих частей равенства равны:

        и .

д) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.

.

(5)

 

D В самом деле, пусть F'(x) = f(x) и G'(x) = g(x).

Тогда  и .

Поэтому

= , где С₁+С₂=С. Ñ

Здесь был использован тот факт, что производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций и свойство а) неопределенного интеграла.      

Свойство д) распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа функций.

Таблица основных интегралов

Интегрирование есть действие, обратное дифференцированию. Поэтому, для того чтобы проверить, правильно ли найден данный интеграл, достаточно продифференцировать найденную первообразную. Если при этом получим подынтегральную функцию, то интеграл найден верно.

Из определения интеграла следует, что всякая формула для производной конкретной функции, т.е. формула вида (1) может быть записана в виде интегральной формулы (3). Формулы интегрирования получаются обращением соответствующих формул дифференцирования. Используя это соображение и таблицу производных, составим следующую таблицу неопределенных интегралов.

1. dх =  + С (a ¹-1)

В частности, при a = 0 имеем = x + С

2.  = ln| х | + С

3.  =  + С, а >0, а ¹1

В частности,

3а.  = е ^х + С

4.  = -

5.  =

6. =

7.  =

8.

9.

 

Заметим, что формулы 2,6,7,8 справедливы лишь для тех значений х, при которых не происходит обращения в нуль знаменателя.

Для вывода этих формул, как уже отмечалось, используется свойство в) неопределенного интеграла, а именно, дифференцирование правой части равенства. Производная правой части равенства дает подынтегральную функцию, а дифференциал -подынтегральное выражение.

Справедливость всех представленных интегралов легко проверить, если

продифференцировать их правые части.

 

Проверим, например, формулу 2.

Чтобы найти  , заметим, что функция  непрерывна в промежутках  и , причем в каждом из них она имеет первообразную.

В промежутке  этой первообразной, очевидно, является функция lnx, т.к.  , т.е  при .

В промежутке первообразной по отношению к  является , т.е.

 при . Действительно,  существует при x<0 и .

Итак, оба промежутка непрерывности подынтегральной функции объединяются записью

.

Приведенные интегралы 1-9 принято называть табличными.

 

 

Лекция 2.

Основные методы интегрирования