Неопределенный интеграл и его свойства

Неопределенный интеграл и его свойства

1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа и его многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике приводят к обратной задаче: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой была бы равна функции f(x), т.е. F'(x) = f(x). Восстановление функции по известной производной этой функции – одна из основных задач интегрального исчисления.

Определение 1.     Дифференцируемая функция F(x), определенная на некотором промежутке X, называется первообразной (для, от) функции f(x), определенной на том же промежутке, если во всех точках этого промежутка выполняется равенство

 

F'(x) = f(x)

(1)

или, что то же самое,

dF(x) = f(x) d(x)

(2)

Пример 1. Функция F(x) = х ³ является первообразной функции f(x) = 3 х ² на всей числовой оси, так как при любом x (х ³)' = 3 х ² .Нетрудно заметить, что первообразная х ³ не является единственной для функции 3 х ². В самом деле, в качестве первообразной можно было бы взять и функции х ³ + 8, х ³ – 4 и, вообще, х ³+С, где С – произвольная постоянная, потому, что (х ³ +С)' = 3 х ².

Покажем, что множество функций F(x) + С, где F(x) - некоторая первообразная для функции f(x), а С – произвольная постоянная, исчерпывает все первообразные для этой функции.

Лемма.

Функция, производная которой на некотором промежутке X равна нулю, постоянна на этом промежутке.

Доказательство:

Пусть во всех точках промежутка X производная функции f(x) равна нулю, т.е f '(x) = 0. Для любых двух точек х ₁, х ₂ Î X по теореме Лагранжа получаем:

f(x2) – f(x1) = ,

х 1<x< х 2

Так как f ' (x) = 0, то f(x₂) = f(x₁). Это и означает, что значения функции во всех точках промежутка одинаковы, т.е. f(x) = С, где С – некоторое число.

Теорема.

Если F₁(x) и F₂(x) - две первообразные для f(x) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.

Доказательство:

Пусть, например, указанный промежуток – интервал ]а;b[. Из определения первообразной имеем: F₁'(x) = f(x) и F₂'(x) = f(x) для любого х Î ]а;b[.

Пусть a (х) = F₂(x) - F₁(x). Тогда для любого х из ]а;b[

a'(х) = F₂'(x) - F₁'(x) = f (x) – f (x) = 0.

Следовательно, согласно лемме, a (х)  С.

Подчеркнем важный факт: если производная для функции одна, т.е. операция дифференцирования однозначна, то нахождение первообразной для функции возможно лишь с точностью до некоторого постоянного слагаемого.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для функций f(x), определенных на некотором промежутке X, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом   (читается: "интеграл от эф от икс де икс").

Таким образом, по определению,

,

(3)

если F'(x) = f(x).

       Значит, чтобы найти неопределенный интеграл от заданной функции, нужно найти какую-нибудь одну ее первообразную и прибавить к ней произвольную постоянную С.

Наличие этой постоянной делает задачу нахождения функции по ее производной не вполне определенной. Отсюда происходит само название “неопределенный интеграл”.

Определение 3. Нахождение первообразной для данной функции f(x) называется интегрированием функции f(x).

Определение 4. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x) dх – подынтегральным выражением, х - переменной интегрирования, символ ∫ - знаком неопределенного интеграла, С – постоянной интегрирования.

Пример 2.  Найти .

D Так как x ³ = , то функция F(x) =  является одной из первообразных для функции f(x) = x ³. Поэтому

 =  + С.  Ñ

Слово “интеграл” происходит от латинского “integer”, что означает “восстановленный”. Интегрируя какую-нибудь функцию, в примере 2 функцию x³, мы как бы восстанавливаем функцию , производная которой равна x³.                     

Определение 5.                                                                                     y

Назовем график какой-либо первообразной у = F(x)    

функции f(x) интегральной кривой.

x

Тогда геометрически неопределенный интеграл                           

представляет собой семейство интегральных кривых, каждая

из которых получается из любой другой кривой

параллельным переносом вдоль оси Оу.

Отметим без доказательства, что если функция f(x) непрерывна на некотором

промежутке X, то на этом промежутке существует первообразная функции f(x), а следовательно, и неопределенный интеграл  (теорема Коши).

Таблица основных интегралов

Интегрирование есть действие, обратное дифференцированию. Поэтому, для того чтобы проверить, правильно ли найден данный интеграл, достаточно продифференцировать найденную первообразную. Если при этом получим подынтегральную функцию, то интеграл найден верно.

Из определения интеграла следует, что всякая формула для производной конкретной функции, т.е. формула вида (1) может быть записана в виде интегральной формулы (3). Формулы интегрирования получаются обращением соответствующих формул дифференцирования. Используя это соображение и таблицу производных, составим следующую таблицу неопределенных интегралов.

1. dх =  + С (a ¹-1)

В частности, при a = 0 имеем = x + С

2.  = ln| х | + С

3.  =  + С, а >0, а ¹1

В частности,

3а.  = е ^х + С

4.  = -

5.  =

6. =

7.  =

8.

9.

 

Заметим, что формулы 2,6,7,8 справедливы лишь для тех значений х, при которых не происходит обращения в нуль знаменателя.

Для вывода этих формул, как уже отмечалось, используется свойство в) неопределенного интеграла, а именно, дифференцирование правой части равенства. Производная правой части равенства дает подынтегральную функцию, а дифференциал -подынтегральное выражение.

Справедливость всех представленных интегралов легко проверить, если

продифференцировать их правые части.

 

Проверим, например, формулу 2.

Чтобы найти  , заметим, что функция  непрерывна в промежутках  и , причем в каждом из них она имеет первообразную.

В промежутке  этой первообразной, очевидно, является функция lnx, т.к.  , т.е  при .

В промежутке первообразной по отношению к  является , т.е.

 при . Действительно,  существует при x<0 и .

Итак, оба промежутка непрерывности подынтегральной функции объединяются записью

.

Приведенные интегралы 1-9 принято называть табличными.

 

 

Лекция 2.

Основные методы интегрирования

Пример 3.

.

 

Пример 4.

.

 

Пример 5.

=

= .

В некоторых случаях нахождение интегралов упрощается применением искусственных приемов.

Пример 6. Найти .

D Умножив подынтегральное выражение на  находим

= . Ñ

Пример 7.

.

Пример 8.

.

 

 

Пример 11.

.

Приведем далее примеры вычисления интегралов, которые нам понадобятся в теории интегрирования рациональных дробей.

Пример 12. Найти I=   (a¹0).

D Представим подынтегральную функцию в виде:

.

Следовательно,

I=

= .

Таким образом, . Ñ

       Пример 12а. Найти I= , .

D Так как ,

следовательно I = . Ñ

Пример 13. Найти        (a¹0).

D Для того, чтобы свести этот интеграл к табличному, разделим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на :

.

Мы подвели постоянный множитель  под знак дифференциала. Рассматривая  как новую переменную, получим:

                   . Ñ

Вычислим также интеграл, который имеет важное значение при интегрировании иррациональных функций.

Пример 14. Найти I=   (½ х ½< а, а ¹0).

D Имеем .

Итак,      (½ х ½< а, а ¹0). Ñ

Представленные примеры иллюстрируют важность умения приводить данное

дифференциальное выражение  к виду , где  есть некоторая функция от x и g – функция более простая для интегрирования, чем f.

В этих примерах были проведены преобразования дифференциала, такие как

где b – постоянная величина

,

,

,

часто используемые при нахождении интегралов.

В таблице основных интегралов предполагалось, что x есть независимая переменная. Однако, эта таблица, как следует из изложенного выше, полностью сохраняет свое значение, если под x понимать любую непрерывно дифференцируемую функцию от независимой переменной. Обобщим ряд формул таблицы основных интегралов.

3а. .

4. .

5.  = .

6. = .

7.  = .

8.         (½ х ½< а, а ¹0).

9.           (а ¹0).

 

Операция подведения функции  под знак дифференциала эквивалентна замене переменной х на новую переменную . Нижеследующие примеры иллюстрируют это положение.

Пример 15. Найти  I= .

D Произведем замену переменной по формуле , тогда , т.е.  и I= .

Заменив u его выражением , окончательно получим 

I= . Ñ

Выполненное преобразование эквивалентно подведению под знак дифференциала функции .

Пример 16. Найти .

D Положим , тогда , откуда . Следовательно,

. Ñ

Пример 17. Найти .

D Пусть , тогда , или . Следовательно,

. Ñ

В заключение отметим, что разные способы интегрирования одной и той же функции иногда приводят к функциям, различным по своему виду. Это кажущееся противоречие можно устранить, если показать, что разность между полученными функциями есть постоянная величина (см. теорему, доказанную на лекции 1).

Примеры:

       а) .

.

Результаты отличаются на постоянную величину, и, значит, оба ответа верны.

       б) I= .

.

Легко убедиться, что любые из ответов отличаются друг от друга только на постоянную величину.

б) Метод подстановки (метод введения новой переменной)

Пусть интеграл  (  - непрерывна) не может быть непосредственно преобразован к виду табличного. Сделаем подстановку , где  - функция, имеющая непрерывную производную. Тогда ,   и

.                                                           (3)

Формула (3) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Как правильно выбрать подстановку? Это достигается практикой в интегрировании. Но можно установить ряд общих правил и некоторых приемов для частных случаев интегрирования.

Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем.

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

4. Производят замену под интегралом.

5. Находят полученный интеграл.

6. Производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной.

 

Проиллюстрируем правило примерами.

Пример 18. Найти .

D Положим , тогда ,    и

= . Ñ

Пример 19. Найти .

D Вычислим интеграл  , придерживаясь следующей формы записи:

=  .  

Этот интеграл найдем подведением под знак дифференциала.

= . Ñ

Пример 20. Найти  ().

D Применим подстановку Эйлера: , где - новая переменная.

, т.е. , или . Отсюда , т.е. .

Таким образом, имеем . Заменяя  его выражением через x, окончательно находим интеграл, играющий важную роль в интегрировании иррациональных функций:      (). Ñ

Студенты прозвали этот интеграл «длинным логарифмом».

Иногда вместо подстановки  лучше выполнять замену переменной вида .

Пример 21. Найти  .

D  Полагая t= e^x , получаем ,  и

. Ñ

Пример 22. Найти  .

D Воспользуемся подстановкой . Тогда , , .

Следовательно, . Ñ

В ряде случаев нахождение интеграла основывается на использовании методов непосредственного интегрирования и подведения функций под знак дифференциала одновременно (см. пример 12).

Проиллюстрируем этот комбинированный подход к вычислению интеграла, играющего важную роль при интегрировании тригонометрических функций.

Пример 23. Найти .

D Имеем

= . Ñ

Итак, .

Другой подход к вычислению этого интеграла:

.

Пример 24. Найти  .

Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

Лекция 3.

Неопределенный интеграл и его свойства

1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа и его многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике приводят к обратной задаче: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой была бы равна функции f(x), т.е. F'(x) = f(x). Восстановление функции по известной производной этой функции – одна из основных задач интегрального исчисления.

Определение 1.     Дифференцируемая функция F(x), определенная на некотором промежутке X, называется первообразной (для, от) функции f(x), определенной на том же промежутке, если во всех точках этого промежутка выполняется равенство

 

F'(x) = f(x)

(1)

или, что то же самое,

dF(x) = f(x) d(x)

(2)

Пример 1. Функция F(x) = х ³ является первообразной функции f(x) = 3 х ² на всей числовой оси, так как при любом x (х ³)' = 3 х ² .Нетрудно заметить, что первообразная х ³ не является единственной для функции 3 х ². В самом деле, в качестве первообразной можно было бы взять и функции х ³ + 8, х ³ – 4 и, вообще, х ³+С, где С – произвольная постоянная, потому, что (х ³ +С)' = 3 х ².

Покажем, что множество функций F(x) + С, где F(x) - некоторая первообразная для функции f(x), а С – произвольная постоянная, исчерпывает все первообразные для этой функции.

Лемма.

Функция, производная которой на некотором промежутке X равна нулю, постоянна на этом промежутке.

Доказательство:

Пусть во всех точках промежутка X производная функции f(x) равна нулю, т.е f '(x) = 0. Для любых двух точек х ₁, х ₂ Î X по теореме Лагранжа получаем:

f(x2) – f(x1) = ,

х 1<x< х 2

Так как f ' (x) = 0, то f(x₂) = f(x₁). Это и означает, что значения функции во всех точках промежутка одинаковы, т.е. f(x) = С, где С – некоторое число.

Теорема.

Если F₁(x) и F₂(x) - две первообразные для f(x) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.

Доказательство:

Пусть, например, указанный промежуток – интервал ]а;b[. Из определения первообразной имеем: F₁'(x) = f(x) и F₂'(x) = f(x) для любого х Î ]а;b[.

Пусть a (х) = F₂(x) - F₁(x). Тогда для любого х из ]а;b[

a'(х) = F₂'(x) - F₁'(x) = f (x) – f (x) = 0.

Следовательно, согласно лемме, a (х)  С.

Подчеркнем важный факт: если производная для функции одна, т.е. операция дифференцирования однозначна, то нахождение первообразной для функции возможно лишь с точностью до некоторого постоянного слагаемого.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для функций f(x), определенных на некотором промежутке X, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом   (читается: "интеграл от эф от икс де икс").

Таким образом, по определению,

,

(3)

если F'(x) = f(x).

       Значит, чтобы найти неопределенный интеграл от заданной функции, нужно найти какую-нибудь одну ее первообразную и прибавить к ней произвольную постоянную С.

Наличие этой постоянной делает задачу нахождения функции по ее производной не вполне определенной. Отсюда происходит само название “неопределенный интеграл”.

Определение 3. Нахождение первообразной для данной функции f(x) называется интегрированием функции f(x).

Определение 4. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x) dх – подынтегральным выражением, х - переменной интегрирования, символ ∫ - знаком неопределенного интеграла, С – постоянной интегрирования.

Пример 2.  Найти .

D Так как x ³ = , то функция F(x) =  является одной из первообразных для функции f(x) = x ³. Поэтому

 =  + С.  Ñ

Слово “интеграл” происходит от латинского “integer”, что означает “восстановленный”. Интегрируя какую-нибудь функцию, в примере 2 функцию x³, мы как бы восстанавливаем функцию , производная которой равна x³.                     

Определение 5.                                                                                     y

Назовем график какой-либо первообразной у = F(x)    

функции f(x) интегральной кривой.

x

Тогда геометрически неопределенный интеграл                           

представляет собой семейство интегральных кривых, каждая

из которых получается из любой другой кривой

параллельным переносом вдоль оси Оу.

Отметим без доказательства, что если функция f(x) непрерывна на некотором

промежутке X, то на этом промежутке существует первообразная функции f(x), а следовательно, и неопределенный интеграл  (теорема Коши).