Принцип наименьшего действия в механике. Функция Лагранжа. Уравнение Лагранжа.

Принцип наименьшего действия Гамильтона, точнее принцип стационарности действия — способ получения уравнений движения физической системы при помощи поиска стационарного (часто — экстремального, обычно, в связи со сложившейся традицией определения знака действия, наименьшего) значения специального функционала — действия (т.е. при использовании этого принципа мы получим УРАВНЕНИЕ, при котором система движется так, чтобы минимизировать функционал – свое действие).

Принцип наименьшего действия был сначала сформулирован Мопертюи в 1746 году и далее развивался (после 1748 года) математиками Эйлером, Лагранжем и Гамильтоном. Мопертюи пришёл к этому принципу из ощущения, что совершенство Вселенной требует определенной экономии в природе и противоречит любым бесполезным расходам энергии. Естественное движение должно быть таким, чтобы сделать некоторую величину минимальной. Нужно было только найти эту величину, что он и продолжал делать. Она являлась произведением продолжительности (время) движения в пределах системы на удвоенную величину, которую мы теперь называем кинетической энергией системы.

Эйлер принимает принцип наименьшего количества действия, называя действие «усилием». Его выражение в статике соответствует тому, что мы теперь назвали бы потенциальной энергией.

Согласно принципу наименьшего действия, каждая механическая система характеризуется определённой функцией , называемая функцией Лагранжа, в краткой записи . Пусть в моменты времени t=t₁, t=t₂, система занимает определённые положения в пространстве, характеризуемые двумя наборами значений координат q⁽¹⁾ и q⁽²⁾. Тогда между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл имел наименьшее возможное значение. Интеграл S называется действием. Необходимым условием минимальности S является обращение в нуль первой вариации

Из курса вариационного исчисления известно, что это условие эквивалентно системе уравнений Эйлера-Лагранжа

, i=1..n.

Уравнения Эйлера — Лагранжа (в физике также уравнения Лагранжа — Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки (подозрительные на экстремум) и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом стационарности действия, используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Использование уравнений Эйлера — Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в нуль, гладкая функция может иметь экстремум

Рассмотрим замкнутую систему N материальных точек, взаимодействующих друг с другом, но ни с какими посторонними телами. Общий вид функции Лагранжа для такой системы следующий , где - радиус-вектор i-й точки. Функция  описывает взаимодействие между материальными точками и называется потенциальной энергией системы. Сумму называют кинетической энергией системы - энергией механической системы, зависящей от скоростей движения её точек. Формула кинетической энергии: mv^2 / 2, где m – масса тела, v – скорость движения тела.

 

ПОДРОБНЕЕ ПРО ДЕЙСТВИЕ: На примере физической системы с одной степенью свободы (например, материальная точка, движущаяся по прямой – т.е. траектория ее движения может быть описана уравнением с одной переменной), напомним, что действие — это функционал относительно (обобщенных) координат (в случае одной степени свободы - одной координаты q(t)), то есть выражается через q(t) так, что каждому мыслимому варианту функции q(t) сопоставляется некоторое число - действие (в этом смысле можно сказать, что действие как функционал есть правило, позволяющее для любой заданной функции вычислить вполне определенной число - также называемое действием). Действие имеет вид:

где  есть лагранжиан системы, зависящий от обобщённой координаты q, её первой производной по времени q’(t), а также, возможно, и явным образом от времени t. Если система имеет большее число степеней свободы n, то лагранжиан зависит от большего числа обобщённых координат  и их первых производных по времени. Таким образом, действие является скалярным функционалом, зависящим от траектории тела (по-русски: действие – это число, которое сопоставляется каждому значению функции q (t), задающей траекторию движения материальной точки).

Действие можно вычислить для совершенно произвольной траектории q(t), какой бы «дикой» и «неестественной» она бы ни была. Однако в классической механике среди всего набора возможных траекторий существует одна-единственная, по которой тело действительно пойдёт. Принцип стационарности действия как раз и даёт ответ на вопрос, как действительно будет двигаться тело:

между двумя заданными точками тело движется так, чтобы действие было стационарным.

Это значит, что если задан лагранжиан системы, то мы с помощью вариационного исчисления можем установить, как именно будет двигаться тело, сначала получив уравнения движения — уравнения Эйлера — Лагранжа, а затем решив их. Это позволяет не только серьёзно обобщить формулировку механики, но и выбирать наиболее удобные координаты для каждой определенной задачи, не ограничиваясь декартовыми, что может быть очень полезно для получения наиболее простых и легко решаемых уравнений.