Основные числовые характеристики и матрицы графа

 

1. Степени вершин графа

Степенью вершины v графа G называется число инцидентных ей рёбер, т.е. число рёбер, выходящих из данной вершины. (В случае псевдографов каждая петля добавляет 2 в степень вершины). Обозначается степень вершины v графа G: deg _Gv или просто deg v, если ясно, о каком графе G идет речь.

Вершина степени 0 называется изолированной. Вершина степени 1 называется концевой (или висячей). Ребро, инцидентное концевой вершине также называется концевым.

Вершина v графа G, смежная со всеми другими вершинами G, называется

доминирующей. Её степень deg _Gv очевидно равна | G | – 1.

Граф G называется регулярным (или, по-другому, однородным), если степени всех его вершин равны. Эта общая степень всех вершин регулярного графа G называется степенью регулярного графа G и обозначается deg G.

Последовательность степеней вершин графа G, записанная в каком либо порядке называется степенной последовательностью графа G. Например, граф на рис. 8.1 имеет степенную последовательность (3, 3, 1, 0, 1, 2).

 

 

Понятно, что изоморфные графы имеют одинаковые (с точностью до порядка следования элементов) степенные последовательности. Однако, из этого совпадения степенных последовательностей двух графов ещё не следует их изоморфность. На рис. 8.2 – 8.3 изображены два неизоморфных регулярных графа степени 2.

Таким       образом,       степенная последовательность не определяет граф полностью и не может служить способом его задания.

Степенная последовательность не может быть произвольным набором чисел, а обладает определёнными свойствами.

Лемма 1 ("о рукопожатиях"). Сумма

степеней всех вершин графа G есть число чётное, ровно в два раза большее числа рёбер графа G, т.е.

å deg G v = 2 × E (G)

v Î V (G)

Доказательство: Действительно, подсчитаем количество рёбер графа G, просматривая поочередно все вершины графа G и считая рёбра выходящие из этих вершин. Так как из каждой вершины v выходит deg G v рёбер, то мы получим сумму:

ådeg G v

v Î V (G)

Но при этом каждое ребро будет учтено 2 раза: один раз, когда рассматривался один его конец, другой раз, когда – второй. Таким образом, лемма верна.

Из леммы 1 вытекает

Следствие. В любом графе число вершин нечётной степени является чётным.

Доказательство. В самом деле, иначе, если бы сумма целых чисел содержала нечётное число нечетных слагаемых, то она, очевидно, была бы нечётной, что противоречит лемме о рукопожатиях.

В ориентированных графах для каждой вершины v дополнительно рассматривается также полустепень исхода и полустепень захода. Полустепенью исхода вершины v называется число дуг графа G, для которых v является началом, а полустепенью захода – число дуг, для которых v является концом. Обозначаются полустепени захода и исхода графа G соответственно deg_- v и deg₊ v. При этом полная степень deg v = deg_- v+ deg₊ v. Поскольку каждая дуга имеет ровно одно начало и один конец, то справедлива

Лемма 2. Сумма полустепеней исхода всех вершин графа G равна сумме полустепеней захода, т.е.

å

v Î V (G)

deg +  v =

å deg -  v.

v Î V (G)

 

2. Матрица смежности

Пусть G – помеченный граф порядка n, V (G) = {1, 2, 3, …, n }. Матрицей смежности графа G называется бинарная n ´ n -матрица M (G) = (m_ij), такая, что m_ij = 1, если вершина i смежна с вершиной j, и m_ij = 0, в противном случае.

Легко видеть, что матрица смежности простого графа G является симметричной, с нулями на главной диагонали. Число единиц в каждой строке (каждом столбце) равно степени соответствующей вершины. Понятно, что и обратно, всякой бинарной матрице с указанными свойствами соответствует некоторый простой граф. Таким образом, матрица смежности является одним из способов задания графов.

Для мульти- и псевдографов матрица смежности определяется так, что:

m = ⎧

число ребер, соединяющих вершины i и j, i ¹ j;

ij ⎨

⎩

2 × (число петель,инцидентных вершине i), если

i = j.

Для ориентированного графа G:

m ij

⎧1,

=

⎨

⎩0,

если (i, j) является иначе.

дугой (i

- начало,

j - конец);

Таким образом, всякая бинарная матрица является матрицей смежности

соответствующего ориентированного графа. Например, матрице, приведенной на рис. 8.4, соответствует граф, изображенный на рис. 8.5.

 

0 1 1 1

1 0 1 1

0 0 1 0

0 0 0 0

 

Рис. 8.4

Абстрактный граф приводит к различным матрицам смежности в зависимости от нумерации вершин.

Теорема. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы смежности получаются друг из друга путём парных перестановок одинаковых строк и столбцов.

Доказательство. Действительно таким перестановкам (переставляются одновременно, как одна операция, две строчки и два столбца с одинаковыми номерами) соответствует перенумерация вершин графа, что очевидно приводит к изоморфному графу.

Из теоремы, в частности, следует, что ранги матриц смежности изоморфных графов совпадают. Этот общий ранг различных матриц смежности изоморфных графов называется рангом соответствующего абстрактного графа G и обозначается rg G. Совпадают так же характеристические многочлены и собственные значения матриц смежности изоморфных графов, которые называются, соответственно, характеристическим многочленом и спектром графа G.

Для двудольного графа G, с долями V ₁ = { x ₁, x ₂, …, x_n } и V ₂ = { y ₁, y ₂, …, y_m } рассматривается так же приведённая n ´ m -матрица смежности, такая, что m_ij = 1, если вершина x_i смежная с y_j, и m_ij = 0 в противном случае.

Для взвешенных графов вместо матрицы смежности обычно рассматривается матрица весов, элементы которой m_ij = вес ребра {i,j}. Отсутствующим рёбрам присваивается вес ∞ или 0, в зависимости от решаемой задачи.

 

3. Матрица Кирхгофа

Пусть G – помеченный граф, V (G) = {1, 2, 3, …, n }. Матрицей Кирхгофа графа

G называется n ´ n -матрица K (G) = (k_ij), такая, что:

⎧-1,

если вершина

i смежна с вершиной j;

k =

⎪

ij ⎨0,

если i ¹ j

и вершины i и j не смежны;

⎩

⎪deg i, если

i = j.

Матрица Кирхгофа K (G) симметрична, на главной диагонали расположена степенная последовательность графа G. Кроме того, сумма элементов каждой строки (столбца) равна 0. (Матрица с последним условием обладает тем свойством, что алгебраические дополнения всех элементов такой матрицы равны между собой.) Как и для матрицы смежности, справедлива

Теорема. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы Кирхгофа получаются друг из друга путём парных перестановок одинаковых строк и столбцов.

 

4. Матрица инцидентности

Пусть G – (n, m)-граф, V (G) = {1, 2, 3, …, n }, E (G) = { e ₁, e ₂, e ₃, …, e_m }. Матрицей инцидентности графа G называется бинарная n ´ m- матрица I (G) = (I_ij), такая, что:

I ij

⎧1,

=

⎨

⎩0,

если вершина i инцидентна ребру иначе.

e j;

Понятно, что такая матрица имеет ровно по две единицы в каждом столбце (ведь

всякое ребро имеет два конца – две инцидентные данному ребру вершины). Число единиц в каждой строке матрицы инцидентности равно степени соответствующей вершины. Матрицы инцидентности изоморфных графов получаются друг из друга путём обычных (непарных, в отличие от матрицы смежности и матрицы Кирхгофа) перестановок строчек и столбцов.

Для ориентированного графа:

⎧1,

⎪

если

вершина i - начало дуги e j,

I = ⎪-1,

если вершина i - конец дуги e j,

⎪

ij ⎨2,

если дуга e j -

петля, начало и конец которой есть вершина

v i,

⎪⎩0,

иначе, вершина

i и дуга e j не инцидентны.

Существует следующая связь между матрицей инцидентности I и матрицей Кирхгофа K графа G. Пусть G – простой граф. Превратим его в ориентированный граф задав на каждом ребре (произвольную) ориентацию, другими словами, расставим стрелки на всех рёбрах графа G. Полученный граф называется ориентацией графа G.

Теорема. Если K – матрица Кирхгофа графа G и I – матрица инцидентности какой-либо его ориентации, то K = I × I ^т, где I ^т – транспонированная матрица.