Энергетический закон для жидкости, находящейся в равновесии.

При выводе основного уравнения гидростатики было получено дифференциальное уравнение вида

.

Прежде чем интегрировать это уравнение, представим его в следующем виде

или

.

Проинтегрировав, получим

.

Величина  представляет ту высоту, на которую поднялась бы жидкость в пьезометре, если бы верхний конец его находился под нулевым давлением p = 0 (рис. 3.6).

Таким образом, это есть высота, соответствующая абсолютному давлению в жидкости. Она называется приведенной (высота h ₂).

Рис. 3.6

 

- геометрическая высота выбранной точки над условной плоскостью сравнения 0 - 0. Отсюда

.                                         (3.4)

Уравнение (3.4) показывает, что сумма двух высот  и  для любой точки жидкости остается постоянной. Эта сумма называется абсолютным (полным) гидростатическим напором.

Если конец пьезометра соединить с атмосферой при давлении B, то уравнение (3.4) примет вид

.                                          (3.5)

Сумма  и  называется гидростатическим напором, а величина  - пьезометрическим напором.

Горизонтальная плоскость, проведенная на высоте , называется плоскостью гидростатического или пьезометрического напора, а - плоскостью абсолютного (полного) напора. Очевидно, что .

3.5 Относительный покой жидкости.

Пусть жидкость находится в емкости, которая движется прямолинейно и равноускоренно по горизонтальной плоскости с ускорением а (рис. 3.13). Необходимо определить давление в любой точке жидкости при движении емкости с ускорением и угол наклона жидкости.

Масса жидкости при движении находится под действием массовой силы тяжести и силы инерции от горизонтального перемещения.

                                            (3.6)

Соответствующие проекции массовых сил будут равны .

Уравнение (3.6), учитывая массовые силы, примет вид

.

Переменные в уравнении разделены. Интегрируя его, получим

,                                       (3.7)

где C - постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий, которые в данном случае имеют вид  при x = 0 и z =0.

Отсюда

.                                                 (3.8)

Подставляя (3.8) в (3.7), найдем

.                                       (3.9)

Таким образом, найдено уравнение давления для любой точки жидкости. Далее находим форму поверхности.

 

 

Рис. 3.7

 

Уравнение (3.9) для свободной поверхности, где p = p ₀, примет вид

.

Отсюда

.                                                      (3.10)

Так как a / g является константой, то уравнение (3.10) будет уравнением прямой линии. Это означает, что плоскость, проведенная через оси x и z, будет пересекать наружную поверхность жидкости по линии AB.

Отношение a/g представляет тангенс угла наклона прямой AB к горизонтальной плоскости .

Отсюда .

Проведем исследование этого решения. Найдем давление в некоторой точке М Запишем уравнение (3.9) для точки M в виде

или

.                                             (3.11)

Согласно (3.10) первый член в правой части уравнения (3.11) будет ,так как точка M ¢ находится на поверхности.

Отсюда, учитывая, что , а  получим

или

.                                                (3.12)

Уравнение (3.12) представляет формулу гидростатического давления (3.3). Таким образом, давление в любой точке жидкости, движущейся вместе с емкостью прямолинейно и равноускоренно, определяется по формуле гидростатического давления, где h - глубина погружения точки под поверхностью жидкости. Например, давление в точке D будет .

Закон Архимеда.

Закон Архимеда формулируется в виде следующего утверждения - на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу вытесненной им жидкости. Эта сила называется поддерживающей. Она является равнодействующей сил давления, с которыми жидкость, находящаяся в покое, действует на покоящееся в нем тело.

Из закона Архимеда следует, что на тело, погруженное в жидкость, в конечном счете действуют две силы (рис. 3.8).

1. Сила тяжести - вес тела .

2. Поддерживающая (выталкивающая) сила , где g₁ - удельный вес тела; g₂ - удельный вес жидкости.

При этом могут иметь место следующие основные случаи:

1. Удельный вес тела и жидкости одинаковы . В этом случае , равнодействующая , и тело будет находиться в состоянии безразличного равновесия, т.е. будучи погружено на любую глубину, оно не будет ни всплывать, ни тонуть.

2. При g₁> g₂ , . Равнодействующая направлена вниз, и тело будет тонуть.

3. При g₁< g₂   . Равнодействующая направлена вверх, и тело будет всплывать. Всплытие тела будет продолжаться до тех пор, пока выталкивающая сила не уменьшится настолько, что сделается равной силе веса, т.е. пока не будет . После этого тело будет плавать на поверхности.

ДИНАМИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ.