Дослідження закону розподілу випадкової величини на основі експериментальних даних

Мета роботи – навчитись перевірятиузгодженість експериментального та передбачуваного теоретичного розподілу ВВ за допомогою критеріїв згоди Колмогорова та c².

Теоретичні відомості

Перевірка узгодженості експериментального і передбачуваного теоретичного розподілу ВВ проводиться за допомогою критеріїв згоди Колмогорова і c².

Критерій Колмогорова

Рис. 2.6. Розбіжність між експериментальною і теоретичною функціями розподілу ВВ

В якості міри розбіжності між теоретичним і статистичним розподілами О.М.Колмогоров розглядає максимальне значення модуля різниці між експериментальної функцією розподілу та передбачуваною теоретичною функцією розподілу  (рис. 2.6):

.        (2.2)                                                                                                          

Підставою для вибору міри розбіжності величини D є простота її обчислення. Разом з тим вона має досить простий закон розподілу. О.М. Колмогоров довів, що, якою б не була функція розподілу неперервної ВВ, при необмеженому зростанні числа незалежних спостережень n ймовірність нерівності  прямує до межі

.        (2.3)

Значення ймовірності , розраховані за формулою (2.3), наведено в табл. 2.8.

Таблиця 2. 8

l		l		l
0,0	1,000	0,7	0,711	1,4	0,040
0,1	1,000	0,8	0,544	1,5	0,022
0,2	1,000	0,9	0,393	1,6	0,012
0,3	1,000	1,0	0,270	1,7	0,006
0,4	0,997	1,1	0,178	1,8	0,003
0,5	0,964	1,2	0,112	1,9	0,002
0,6	0,864	1,3	0,068	2,0	0,001

Алгоритм застосування критерію О.М.Колмогорова наступний.

1) За формулою (2.2) визначається D – максимум модуля різниці між експериментальною  та передбачуваною теоретичною функціями розподілу.

2) Заходимо величину l за формулою .

3) За табл. 2.8 знаходимо – ймовірність узгодженості теоретичної і експериментальної функцій розподілу ВВ за критерієм Колмогорова.

Значення ймовірності по суті є ймовірністю похибки першого роду – a, яке обирають з величин 0,01; 0,05; 0,1. Якщо >a, то гіпотезу про відповідність ексеприментальних даних теоретичному закону вважають правдоподібною. В протилежному випадку – експериментальні дані не відповідають передбачуваному теоретичному закону.

1.3. Критерій c ² (Пірсона)

Перевіряючи узгодженість теоретичного і експериментального розподілів по , будемо виходити із розходження між теоретичними частотами потрапляння в інтервал та спостереженими експериментальними частотами. В якості міри розходження між розподілами обрана сума квадратів відхилень ,  яка позначається :

,                             (2.4)

де ­– теоретична частота потрапляння; ­– спостережена експериментальна частота потрапляння.

Розподіл  залежить від параметра r – числа ступенів свободи розподілу. Число ступенів свободи r дорівнює кількості розрядів k мінус число незалежних умов ("зв‘язків"), накладених на частоти .

Для розподілу  складена таблиця (див. табл. 2.9). Користуючись цією таблицею, можна для кожного значення  і відповідного числа ступенів свободи r знайти  – ймовірність того, що величина, розподілена за законом , перевершить це значення. У табл. 2.9 входами є: значення ймовірності  та число ступенів свободи r. Числа, що стоять в таблиці, являють собою відповідні значення .

Таблиця 2. 9

r	0,99	0,98	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01	0,001
1	0,000	0,001	0,004	0,016	0,064	0,148	0,455	1,074	1,642	2,71	3,84	5,41	6,64	10,83
2	0,020	0,040	0,103	0,211	0,446	0,713	1,386	2,41	3,22	4,60	5,99	7,82	9,21	13,82
3	0,115	0,185	0,352	0,584	1,005	1,424	2,37	3,66	4,64	6,25	7,82	9,84	11,34	16,27
4	0,297	0,429	0,711	1,064	1,649	2,20	3,36	4,88	5,99	7,78	9,49	11,67	13,28	18,46
5	0,554	0,752	1,145	1,610	2,34	3,00	4,35	6,06	7,29	9,24	11,07	13,39	15,09	20,5
6	0,872	1,134	1,635	2,20	3,07	3,83	5,35	7,23	8,56	10,64	12,59	15,03	16,81	22,5
7	1,239	1,564	2,17	2,83	3,82	4,67	6,35	838	9,80	12,02	14,07	16,62	18,48	24,3
8	1,646	2,03	2,73	3,49	4,59	5,53	7,34	9,52	11,03	13,36	15,51	18,17	20,1	26,1
9	2,09	2,53	3,32	4,17	5,38	6,39	8,34	10,66	12,24	14,68	16,92	19,68	21,7	27,9
10	2,56	3,06	3,94	4,86	6,18	7,27	9,34	11,78	13,44	15,99	18,31	21,2	23,2	29,6

Алгоритм застосування критерію наступний.

1) За формулою (2.4) визначається міра розходження .

2) Число ступенів свободи r визначається як число розря­дів k мінус число накладених зв‘язків s: .

3) За табл. 2.9 на основі r та визначаємо  – ймовірність узгодженості теоретичної та експериментальної функції розподілу ВВ по критерію .

Значення ймовірності по суті є ймовірністю похибки першого роду – a, яке обирають з величин 0,01; 0,05; 0,1. Якщо >a, то гіпотезу про відповідність ексеприментальних даних теоретичному закону вважають правдоподібною. В протилежному випадку – експериментальні дані не відповідають передбачуваному теоретичному закону.