Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Об’єм тіла. Об’єм тіла обертання
Розглянемо множину точок простору , обмеженою замкненою без перетинів поверхнею. Таку множину називають тілом. Як відомо, обчислення об’єму многогранника зводиться до обчислення об’єму трикутних пірамід (тетраїдрів), а тому вважаємо, що об’єм многогранника відомий. Розглянемо всілякі многогранники, вписані і описані навколо тіла : . Символом позначають об’єм тіла, через позначимо точну верхню (нижню) грань множини . Означення. Тіло називають кубіруємим, якщо і це число називають об’ємом тіла і позначають через . Нагадаємо, що циліндром називають тіло, обмежене циліндричною поверхнею з образующими, які паралельні деякій осі, двома площинами, перпендикулярними цій осі. Ці площини в перетині з циліндричною поверхнею утворюють плоскі фігури, які називають основами циліндра, а відстань між основами − висотою циліндра. Нехай тіло в координатному просторі обмежене зліва площиною , а справа − , причому відома площа плоскої фігури, яка є перетином тіла площиною . Нехай розбиття відрізка точками . Проведемо площини і розглянемо частину тіла , обмежену площинами . Довільним чином виберемо , проведемо площини , в перетині з одержимо плоску фігуру, площа якої . Якщо мале, то зрозуміло (рис.11), що , а тому об’єм
За умовою, що , можна показати, що кубіруєме тіло і (6.1) Цю формулу називають формулою обчислення об’єму за відомою площею плоских перетинів.
Приклад 6.1. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнею об’єм еліпсоїда.
Розв'язання. Плоский перетин еліпсоїда площиною є еліпс
з півосями . Як відомо, площа цього еліпса дорівнює , а тому за формулою (6.1) маємо
Нехай тепер тіло одержане обертанням навколо осі криволінійної трапеції (рис.12). Тоді будь-який переріз перпендикулярний до осі , буде кругом, радіус якого дорівнює . Оскільки площа круга дорівнює , то за формулою (6.1) маємо (6.2)
де . Якщо тіло одержано обертанням навколо осі криволінійної трапеції (рис.13), то (6.3) Приклад 6.2. Обчислити об’єм тіла обертання фігури, обмеженої еліпсом а) навколо осі ; б) навколо осі .
Розв'язання. а) оскільки , то за формулою (6.2) маємо
б) в даному випадку і за формулою (6.3) маємо
Якщо , то зрозуміло, що
Приклад 6.3. Розглянемо тіло , одержане обертанням круга, обмеженого колом навколо осі . Така поверхня називається тором. Обчислити об’єм тора. Розв'язання. Зрозуміло, що , де об’єм тіла одержаний обертанням криволінійної трапеції навколо осі , а трапеції навколо тієї ж осі. За формулою (6.2) і властивістю інтеграла
тому що за геометричним змістом визначає площу півкола. Одержаний результат можна сформулювати наступним чином: об’єм тора дорівнює площі круга , помноженій на путь , який пробігає центр ваги при одному обороті навколо осі обертання − відомий як наслідок теореми Гульдіна. Площа поверхні обертання
Передусім зупинимось, що розуміють під цім терміном. Нехай поверхня, одержана обертанням навколо осі графіка функції , заданої на відрізку (рис.15). Проведемо розбиття відрізку точками і нехай відповідні точки графіка функції . Побудуємо ломану . При обертанні її навколо осі одержимо поверхню зрізаних кругових конусів, площа яких відома з курсу геометрії середньої школи, а тому площа елемента поверхні обертання відповідно приблизно дорівнює
де довжина відрізка , а значить . Можна довести, що коли , то поверхня, одержана обертанням кривої навколо осі , квадровна і її площа обчислюється за формулою . (7.1) Відмітимо, що можна одержати (7.1) і за ослабленою умовою: . Приклад 7.1. Знайти площу поверхні еліпсоїда обертання.
Розв'язання. Нехай еліпс обертається навколо осі . У цьому випадку , ексцентриситет і за формулою (7.1) маємо
. Якщо , то, як неважко перевірити, . Приклад 7.2. Обчислити площу тора (див. приклад. 6.3 розділу ІІІ).
Розв'язання. Зрозуміло, що , де площа поверхні яка одержана обертанням графіка функції , а площа поверхні яка одержана обертанням графіка функції , , навколо осі . Тому за формулою (7.1) . У даному випадку , і . Під знаком інтеграла необмежена функція і зрозуміло, що він не існує в традиційному сенсі. Чи означає це, що тор немає площі? Поки це свідчить лише про те, що вибране параметричне представлення півкола не задовольняє умові . Поставлена задача потребує розширення поняття інтеграла Рімана і про це ми поговоримо в темі — невласні інтеграли. А щоб завершити розв’язок задачі використаємо параметричне рівняння півкола
Тому . Площа поверхні тора дорівнює довжині кола помноженій на путь , який проходить центр тяжіння при одному оберті навколо осі обертання. − І знову одержали наслідок з відомої теореми Гульдіна.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-05-27; просмотров: 106; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.133.131.168 (0.014 с.) |