Застосування визначеного інтеграла до задач геометрії та розв’язку задач з фізики та механіки

Розд іл ІІІ

 

Застосування визначеного інтеграла до задач геометрії та розв’язку задач з фізики та механіки

 

Поняття плоскої множини

 

Розглянемо множину точок  площини . Околом точки  називають будь-який круг площини, який містить точку , а околом цієї точки називають круг радіуса  з центром  в точці .

Точку  називають внутрішньою точкою множини , якщо існує окіл цієї точки (достатньо малого радіусу ), який цілком належить . Точка  називається зовнішньою точкою множини , якщо існує такий окіл точки , який не містить жодної точки із . Точка  називається граничною точкою множини , якщо в будь-якому її околі є точки, які належать  і є точки, які не належать .

Множину всіх граничних точок називають границею множини  і позначають .

Множина називається відкритою множиною, якщо будь-яка її точка внутрішня. Областю називають відкриту множину. Так, наприклад,

                                 

відкрита множина, область (круг з центром у точці радіус),  її границя.

Плоска множина називається обмеженою, якщо існує круг скінченого радіусу, який містить цю множину. Будемо в подальшому розглядати обмежені області.

Множину  називають замкненою.

Із курсу елементарної математики відомо як знайти площу прямокутника, трикутника, трапеції тощо.

Нехай тепер обмежена плоска область. Розіб’ємо її прямими , де .  називають рангом розбиття. Так, розбиття го рангу містить квадрати зі сторонами довжини . Позначимо через сукупність квадратів, сторони яких мають довжину , які містяться в , а через сукупність квадратів, які містять . Зрозуміло, що  і при цьому площу або міру  та  легко обчислити, . Аналогічно, розглядаючи розбиття го рангу, одержимо дві послідовності  та , причому  і

                            

Послідовність  обмежена зверху, а знизу, а тому існують

                                            

Означення. Обмежена область  називається квадрируємою, якщо  і число  називають площею або мірою області  (за Жорданом).

Можна проводити розбиття не обов’язково квадратами, а, наприклад, прямокутниками, трапеціями.

Приклад не квадровної плоскої обмеженої фігури приводиться, наприклад, в .

Справедлива наступна теорема, доведення якої можна прочитати .

Теорема. Для того, щоб плоска фігура була квадровною, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого  можна вказати такий описаний навколо фігури  многокутник  і такий вписаний в фігуру  многокутник , що

                                         

 

Площа поверхні обертання

 

Передусім зупинимось, що розуміють під цім терміном.

Нехай поверхня, одержана обертанням навколо осі  графіка функції , заданої на відрізку  (рис.15).

Проведемо розбиття  відрізку  точками  і нехай відповідні точки графіка функції . Побудуємо ломану . При обертанні її навколо осі  одержимо поверхню зрізаних кругових конусів, площа яких відома з курсу геометрії середньої школи, а тому площа  елемента поверхні обертання відповідно  приблизно дорівнює

                                  

де довжина відрізка , а значить

                                   .

Можна довести, що коли , то поверхня, одержана обертанням кривої  навколо осі , квадровна і її площа  обчислюється за формулою

                                  .                           (7.1)

Відмітимо, що можна одержати (7.1) і за ослабленою умовою: .

Приклад 7.1. Знайти площу поверхні еліпсоїда обертання.

 

Розв'язання. Нехай еліпс  обертається навколо осі . У цьому випадку , ексцентриситет  і за формулою (7.1) маємо

.

Якщо , то, як неважко перевірити, .

Приклад 7.2. Обчислити площу тора (див. приклад. 6.3 розділу ІІІ).

 

Розв'язання. Зрозуміло, що , де площа поверхні яка одержана обертанням графіка функції , а площа поверхні яка одержана обертанням графіка функції , , навколо осі . Тому за формулою (7.1)

              .

У даному випадку ,  і

  .

Під знаком інтеграла необмежена функція і зрозуміло, що він не існує в традиційному сенсі. Чи означає це, що тор немає площі? Поки це свідчить лише про те, що вибране параметричне представлення півкола не задовольняє умові . Поставлена задача потребує розширення поняття інтеграла  Рімана і про це ми поговоримо в темі — невласні інтеграли. А щоб завершити розв’язок задачі використаємо параметричне рівняння півкола   

                           

Тому

                                    .

Площа поверхні тора дорівнює довжині кола  помноженій на путь , який проходить центр тяжіння при одному оберті навколо осі обертання. − І знову одержали наслідок з відомої теореми Гульдіна.

 

Розд іл ІІІ

 

Застосування визначеного інтеграла до задач геометрії та розв’язку задач з фізики та механіки

 

Поняття плоскої множини

 

Розглянемо множину точок  площини . Околом точки  називають будь-який круг площини, який містить точку , а околом цієї точки називають круг радіуса  з центром  в точці .

Точку  називають внутрішньою точкою множини , якщо існує окіл цієї точки (достатньо малого радіусу ), який цілком належить . Точка  називається зовнішньою точкою множини , якщо існує такий окіл точки , який не містить жодної точки із . Точка  називається граничною точкою множини , якщо в будь-якому її околі є точки, які належать  і є точки, які не належать .

Множину всіх граничних точок називають границею множини  і позначають .

Множина називається відкритою множиною, якщо будь-яка її точка внутрішня. Областю називають відкриту множину. Так, наприклад,

                                 

відкрита множина, область (круг з центром у точці радіус),  її границя.

Плоска множина називається обмеженою, якщо існує круг скінченого радіусу, який містить цю множину. Будемо в подальшому розглядати обмежені області.

Множину  називають замкненою.

Із курсу елементарної математики відомо як знайти площу прямокутника, трикутника, трапеції тощо.

Нехай тепер обмежена плоска область. Розіб’ємо її прямими , де .  називають рангом розбиття. Так, розбиття го рангу містить квадрати зі сторонами довжини . Позначимо через сукупність квадратів, сторони яких мають довжину , які містяться в , а через сукупність квадратів, які містять . Зрозуміло, що  і при цьому площу або міру  та  легко обчислити, . Аналогічно, розглядаючи розбиття го рангу, одержимо дві послідовності  та , причому  і

                            

Послідовність  обмежена зверху, а знизу, а тому існують

                                            

Означення. Обмежена область  називається квадрируємою, якщо  і число  називають площею або мірою області  (за Жорданом).

Можна проводити розбиття не обов’язково квадратами, а, наприклад, прямокутниками, трапеціями.

Приклад не квадровної плоскої обмеженої фігури приводиться, наприклад, в .

Справедлива наступна теорема, доведення якої можна прочитати .

Теорема. Для того, щоб плоска фігура була квадровною, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого  можна вказати такий описаний навколо фігури  многокутник  і такий вписаний в фігуру  многокутник , що