Крива. Обчислення довжини дуги кривої

 

Нехай точка рухається на площині  і відомий закон її руху , де прямокутні декартові координати точки  в момент часу .

Визначимо довжину  шляху, який пройде точка  за проміжок часу .

Означення 4.1. Шляхом або кривою  називають відображення  числового проміжку в просторі , яке задається неперервними функціями   на проміжку . При цьому  називають параметром шляху, а

                                                                                 (4.1)

параметричними рівняннями кривої.

Так, наприклад, криву − півкруг (рис.7) можна записати декартовим рівнянням , а також параметричними рівняннями .

Відмітимо, що рівняння , також визначають той самий півкруг.

У подальшому параметри  такі, що  або неперервні і строго зростаючі функції.

Означення 4.2. Крива  називається простою, якщо двом різним значенням параметра  відповідають різні точки  на кривій . Точки, що відповідають значенням  і  параметра , називають граничними точками простої кривої.

Якщо  і дві прості криві такі, що

1) граничні точки кривої  співпадають з граничними точками кривої ;

2) будь-які не граничні точки кривих  і  різні,

то крива , одержана як об’єднання кривих  і , називається замкненою кривою.

Проста замкнена плоска крива  розділяє площину на дві частини − внутрішню і зовнішню.

Відмітимо, що крива  може допускати і самоперетин. Прикладом такої кривої є лемніската Бернуллі, (рис. 8), рівняння якої

                .

Зрозуміло, що ця крива є об’єднання чотирьох простих кривих, визначених на окремих проміжках .

Означення 4.3. Нехай функції  і  неперервні на множині , де інтервал, сегмент, півсегмент.

Кажуть, що рівняння (4.1) параметрично визначають криву , якщо існує система , яка розбиває множину  так, що на кожному з сегментів множина значень  визначає рівняннями (4.1) просту криву.

Так, рівняння

                                         

параметрично визначає криву коло радіуса  з центром в .

Нехай тепер крива  задається параметричними рівняннями (4.1) і нехай довільне розбиття  точками поділу . Позначимо через  відповідні точки кривої . Ломану  будемо називати ломаною, вписаною в криву . Довжина цієї ломаної дорівнює

                    .

Означення 4.4. Якщо  множина  довжин вписаних в криву  ломаних, одержаних при різноманітних розбиттях сегмента , обмежена, то криву  називають спрямляємою, а точна верхня межа (грань) () називається довжиною дуги кривої  і позначається через . Зрозуміло, що .

Існують приклади неспрямляємих кривих, які можна знайти, наприклад, в .

Теорема. (Достатня ознака умови існування довжини дуги кривої і формули для її обчислення). Якщо функції  на сегменті  мають неперервні похідні, то крива , визначена параметричними рівняннями (4.1), спрямляєма і довжина  дуги кривої  обчислюється за формулою

                                                                           (4.2)

Доведення. Оскільки функції  задовольняють умовам теореми Лагранжа (див. Основні теореми диференціального числення ), то

За умовою , тому вони обмежені на :

                                       

Якщо через позначити , то

                      ,

звідки і слідує, що множина  довжин ломаних обмежена зверху, а тому крива  спрямляєма.

Відмітимо, що для даного розбиття  вираз  не є інтегральною сумою для функції  тому, що точки  нав’язані теоремою Лагранжа, і, крім того, на відрізку  вибирається довільним чином одна точка, а не дві . Але можна довести , що за умовами теореми довжина дуги кривої  визначається формулою (4.2).

Відмітимо, що для спрямляємості кривої необхідна лише обмеженість  на . Більш того, умови теореми можна ослабити, якщо потребувати лише .

 

 

Одержимо формули обчислення довжини дуги кривої, визначеної різними способами.

Розглянемо задачу обчислення довжини графіка функції , визначеної на . Відмітимо, що графік функції є крива в . Якщо покласти , то із (4.2) одержимо

                                                                             (4.3)

Аналогічно, якщо потрібно обчислити довжину дуги кривої  на відрізку , то

                                                                             (4.4)

Якщо крива  задана полярним рівнянням , де параметр і

                            

а значить, за формулою (4.2) маємо

                                                                     (4.5)

Приклад 4.1 Обчислити довжину дуги астроїди (рис. 9). Так називають криву, параметричні рівняння якої .

Рис. 9

Розв'язання. Зрозуміло, що достатньо обчислити довжину дуги кривої, коли  (більш того, з урахуванням симетрії відносно прямої  можна взяти ):

                                    ,

де

                    

А тому

                   .

Приклад 4.2. Обчислити довжину дуги кривої, визначеної полярним рівнянням  (рис. 10, кардіоїда).

Рис. 10

 

Розв'язання. За формулою (2.5) і враховуючи симетрію графіка, маємо

                                     ,

де

         

Остаточно

                     .

Приклад 2.3 Обчислити довжину еліпса, визначеного канонічним рівнянням

                                          .

Розв'язання. Враховуючи параметричні рівняння еліпса  , одержимо

              

де .

Інтеграл

                                     

не виражається в елементарних функціях, як зазначалось і раніше. Його називають еліптичним. За допомогою таблиць значень функції  маємо: довжина еліпса дорівнює .

Зауваження. Якщо крива в просторі  визначається параметричними рівняннями

                              ,                      (4.6)

 

то довжина дуги кривої  визначається за формулою

                              ,                      (4.7)

де .