Определение центра тяжести плоской фигуры, объема, линии

Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести частиц, слагающих тело. Иными словами, центр тяжести – это такая точка приложения равнодействующей сил тяжести частиц тела, которая остаётся неизменной при любых поворотах тела.

Таким образом, для определения положения центра тяжести можно использовать формулы для координат центра параллельных сил.

 

Тело состоит из n элементарных объемов. Найдем равновесие такой системы сил, приложенных в некоторой точке C.

2

An

n

1

A2

A1

R1

C1

C

R

Y

Z

X

 

Обозначим силы веса отдельных частиц тела , координаты его центра тяжести , координаты любой частицы твердого тела и , а вес будет равен

 

Тогда формулы для определения координат центра тяжести принимают вид:

; ;

Определим положение центра тяжести однородных тел. Точка С – центр сил в пространстве с координатами  

 

Свойства параллельных сил и равнодействующей:

 

1) Если силы повернуть в любом направлении на любой угол, то равнодействующая повернется на тот же угол и будет проходить через тоску С.

2) Если предположить, что P₁ и P₂ вес элементарных объемов, то равнодействующая будет являться весом, а точка С будет центром масс.

Координаты можно найти по теореме Вариньона:

 

 

; ;

3) Если в качестве P₁ и P_n представить элементарно малую фигуру, то

; ;

- статический момент площади фигуры

 

4) Если в качестве P₁ и P_n представить элементарно малый объем, то

; ;

 

5) Если в качестве P₁ и P_n представить элементарно малую длину, то

; ;

 

Примеры:

Метод отрицательных площадей

 

Метод отрицательных площадей –сложная фигура разбивается на совокупность простых фигур, для которых известны положения центра тяжести или легко определяются, но при наличии отверстий или пустот удобно их представление в виде “отрицательных” областей.

 

a

b

c

y

l

x

F1

F2

r

B

A

 

 

1)

 

2)

 

3)

 

4)

 

 

Графический метод

 

Найдем координаты X графическим методом.

Найдем центры каждой части конструкции.

 

Выбираем полюс с таким расчетом, чтобы прямые О и 4, проведенные от крайних точек вертикали к полюсу, образовали при пересечении между собой прямой угол.

F3

F2

F1

O

3-0

2-3

1-2

0-1

0-1

1-2

2-3

l

F3

d

C3

C2

b

a

C1

F1

F2

3-0

F3

Затем полюс Р соединяем линиями – лучами со всеми точками, соответствующими площадям, и при помощи треугольников переносим эти линии строго параллельно — под схему, привязывая каждую к соответствующему перпендикуляру того: первый луч О — к перпендикуляру из центра С₁; второй 1 — к С₂ и т, д.

 

Если теперь продлить крайние лучи 1-0 и 3-0 вниз до пересечения, то таким образом и определится положение общего центра тяжести.

 

 

Экспериментальный метод

Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно определять экспериментально: методом подвешивания и взвешивания. Первый способ состоит в том, что тело подвешивается на тросе за различные точки. Направление троса, на котором подвешено тело, будет давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.

Метод взвешивания состоит в том, что сначала определяется вес тела, например самолета. Затем на весах определяется давление самолета на опору. Составив уравнение равновесия относительно какой- либо точки, можно вычислить расстояние от этой оси до центра тяжести.

N1

N2

C

l

a

 

 

Другой вариант

 

 

Список литературы

    1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Т. 1 «Статика.Кинематика», Т.2 «Динамика».ЛАНЬ, – СПб., 2008.–729 с.

    2. Добронравов В.В., Никитин Н.Н., Дворников А.Л. Курс теоретической механики. – М., ВШ, 2009. – 719 с.

    3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М., ВШ, 2008, – 416 с.

4. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. -М.: ВШ,2010.-719 с.

5. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. – М. И НТЕГРА-ПРЕСС, 2009. – 603 с.

    6. Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., 2008, –448 с.

    7. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. – М.,ВШ, 2009. –307 с.

 

 

В разработке электронной версии курса лекций по теоретической механике «статика» принимали участие студенты группы 13 – М – СЖ1:

Грешнов А.А., Горшков И.И.