Выражение момента силы в виде векторного выражения

Z

h

j

i

M0

X

α

A

Y

ra

k

α

O

 

 

Проведем r_а в точку A. Рассмотрим OA x F.

Это третий вектор m_o, перпендикулярный плоскости. Модуль векторного произведения можно вычислить с помощью удвоенной площади заштрихованного треугольника.

или

 

 

Аналитическое выражение силы относительно координатных осей.

Предположим, что с точкой О связаны оси Y и Z, X с единичными векторами i, j, k Учитывая, что:

r_x=X * Fx; r_y=Y * F_y; r_z=Z * F_y получим: m_o(F)=  x =

 

 

Раскроем определитель и получим:

m_x=YF_z - ZF_y

m_y=ZF_x - XF_z

m_z=XF_y - YF_x

Эти формулы дают возможность вычислить проекцию вектор-момента на оси, а потом и сам вектор-момент.

 

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Если система сил имеет равнодействующую, то её момент относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно этой точки

Если приложить Q= -R, то система (Q,F₁ … F_n) будет равен уравновешиваться.

Сумма моментов относительно любого центра будет равен нулю.

 

Аналитическое условие равновесия плоской системы сил

Это плоская система сил, линии действия которых расположены в одной плоскости

Цель расчета задач данного типа - определение реакций внешних связей. Для этого используются основные уравнения в плоской системе сил.

Могут использоваться 2 или 3 уравнения моментов.

q

A

a

C

α

b

β

D

B

Пример

 

 

Составим уравнение суммы всех сил на ось X и Y:

 

 

Сумма моментов всех сил относительно точки А:

 

Параллельные силы

2

B

b

M

A

1

C

Уравнение относительно точки А:

Уравнение относительно точки В:

 

Сумма проекций сил на ось У:

 

 

Теория пар сил

Система двух равных по модулю параллельных противоположно направленных сил, называется парой сил.

Пара не имеет равнодействующую, её можно уравновесить только другой парой и можно представить в виде вектор-момента.

 

 

Свойства пар сил

1) Пару сил можно переносить в плоскости её действия произвольно, не изменяя её действие.

2) Момент пары не зависит от выбора центра.

 

 

Покажем, что сумма моментов сил относительно любого центра не зависит от выбора центра и равняется сумме момента.

 

Теорема об эквивалентности. Сложение пар сил в пространстве

 

Две пары, имеющие равные моменты – эквивалентны.

 

 

Продолжим векторы и отметим точки A и B.

 

Следовательно, две пары, имеющие равные моменты эквивалентны.

Можно произвольно менять модули сил и плечо пар, сохраняя неизменными их момент.