Тема 2.7. Элементы теории корреляции.

Уравнения регрессии. Функциональная и статистическая зависимости. Корреляционная таблица. Групповые средние. Понятие корреляционной зависимости. Основные задачи теории корреляции: определение формы и оценка тесноты связи. Виды корреляционной связи (парная и множественная, линейная и нелинейная). Уравнения регрессии.

 

Литература:

Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для бакалавров / В. Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – С. 253 – 281.

Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 9-е изд., стеор. – М.: Высшее образование, 2004. – С. 190 – 201.

Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов/ Н. Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2002. – С. 457 – 500.

 

Задачи для самостоятельного решения:

2.7. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в следующих корреляционных таблицах:

а)

б)

 

в)

 

Тема 2.8. Линейная корреляция. Простейшие случаи криволинейной корреляции.

Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов. Определение параметров прямых регрессии методом наименьших квадратов. Выборочный коэффициент корреляции, его свойства. Нелинейная регрессия. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции. Проверка оптимальности и адекватности выбранной формы связи двух случайных величин.

 

Литература:

Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для бакалавров / В. Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – С. 253 – 281.

Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 9-е изд., стеор. – М.: Высшее образование, 2004. – С. 190 – 201.

Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов/ Н. Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2002. – С. 409 – 457.

 

Задачи для самостоятельного решения:

2.8. Найти выборочное уравнение регрессии  = A  + Bx + C и выборочное корреляционное отношение  по данным, приведенным в корреляционной таблице:

а)

б)

в)

г)

д)

 

Тема 2.9. Статистика многомерных данных

Многомерные наборы данных. Типы многомерных данных. Основы многомерной классификации. Многомерный растр.

 

Литература:

Бослаф, С. Статистика для всех. / Пер. с англ. П. А. Волкова, И. М. Флямер, М. В. Либерман, А. А. Галицына. – М.: ДМК Пресс, 2015. – С. 245 – 265.

Володин, И. Н. Лекции по теории вероятностей и математической статистике / И. Н, Володин. – Казань: Издательство Казанского гос. университета, 2006. – С. 96 – 106.

 

Задания, которые необходимо сдать на аттестацию

 

Межсессионная аттестация

1. Реферат и защита реферата.

2. Задачи для самостоятельного решения (оформляются как контрольная работа)

1.1. На предстоящих выборах губернатором Н-ской области может быть избран представитель партии левых, представитель партии правых, представитель партии зелёных или не избран никто. Событие А состоит в том, что будет избран представитель партии левых. Событие В состоит в том, что будет избран представитель партии правых или представитель партии зелёных.

Опишите события 1) А˅В; 2) А˄В; 3) ; 4) А\В; 5) А\(А˄В).

1.2. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбивает момент своего прихода в промежутке от 12 до 13 часов.

1.3. Три стрелка стреляют в мишень. Каждый попадает в мишень или не попадает в мишень независимо от результатов выстрелов остальных стрелков. Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,8, а третий – с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена?

1.4. Для проверки усвоения лекционного материала в студенческой группе был случайным образом выбран студент, и ему был предложен тест по теме лекции. В этой студенческой группе 6 отличников, 7 хороших студентов и три средних студента (по результатам прошедшей сессии). Было известно, что отличник справляется с тестом с вероятностью 0,85, хороший студент справляется с тестом с вероятностью 0,6, а средний студент справляется с тестом с вероятностью 0,3.

а) вычислить априорную вероятность того, что был протестирован хороший студент;

в) вычислить вероятность того, что студент не справился с тестом;

с) вычислить вероятность того, что был выбран хороший студент, если известно, что студент с тестом не справился.

1.5. При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущейся цели равна 0,9. Найти наивероятнейшее число попаданий при 50 выстрелах.

1.6. Из двух орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна 0,8, для второго – 0,9. Найти вероятность следующих событий: а) два попадания в цель; б) одно попадание; в) ни одного попадания; г) не менее одного попадания.

1.7. Дискретная случайная величина задана законом распределения

Х	3	4	7	10
р	0,2	0,1	0,4	0,3

Найти функцию распределения и построить ее график.

1.8. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 1 кг. Каков процент коробок, масса которых превышает 940 г? (нормальное распределение).

1.9. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Найти законы распределения составляющих.

 

 

 

Сессионная аттестация

Задачи для самостоятельного решения (оформляются как контрольная работа)

2.1.1. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

2.1.2. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:

Номер	Частичный интервал	Сумма частот вариант частичного интервала
1	10 – 15	2
2	15 – 20	4
3	20 – 25	8
4	25 – 30	4
5	30 – 35	2

 

2.2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 60.

 

Найти несмещенную оценку генеральной совокупности.

2.3. Случайная величина Х (число появлений события А в m независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром р. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события А в 1000 испытаний (в первой строке указано число  появлений события в одном опыте из m = 10 испытаний, во второй строке приведена частота  – число опытов, в которых наблюдалось  появлений события А):

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра р биномиального распределения.

2.4. На обувной фабрике изготавливают детские сапоги одного размера. По выборке объема  вычислена выборочная средняя длин подошвы сапог . Найти с надежностью 0,99 доверительный интервал для средней длины   подошвы сапога, если известно, что среднее квадратическое отклонение длин равно . Предполагается, что длины подошв распределены нормально.

2.5. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности  с эмпирическим распределением выборки.

	110	120	130	140	150	160	170
	1	13	29	42	22	12	1

2.6. Произведено по пять испытаний на каждом из четырех уровней фактора F. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних . Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в таблице:

 

 

2.7. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в следующих корреляционных таблицах:

а)

б)

 

в)

2.8. Найти выборочное уравнение регрессии  = A  + Bx + C и выборочное корреляционное отношение  по данным, приведенным в корреляционной таблице:

а)

б)

в)

г)

д)

 

Рефераты

 

Темы рефератов

 

1. Возникновение и развитие теории вероятностей.

2. Элементы комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания).

3. Случайные события и операции над ними.

4. Классическое определение вероятности.

5. Формула Байеса.

6. Формула Бернулли.

7. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

8. Теорема Пуассона.

9. Предмет и задачи математической статистики.

10. Графическое изображение вариационных рядов.

11. Эмпирическая функция распределения.

12. Интервальное оценивание.

13. Статистические гипотезы и критерии для их проверки (Критерий Пирсона. Критерий Колмогорова).

14. Критерии согласия Пирсона.

15. Элементы дисперсионного анализа.

16. Основы теории корреляции.

17. Статистика многомерных данных.

 

 

Требования к оформлению реферата

 

Объём реферата 20 страниц машинописного текста, шрифт Times New Roman 14, интервал 1,5, выравнивание по ширине, сквозная нумерация страниц, сквозная нумерация рисунков, сквозная нумерация формул, обязательно список литературы – минимум три источника.

 

Образец оформления списка литературы:

 

1. Бослаф, С. Статистика для всех. / Пер. с англ. П. А. Волкова, И. М. Флямер, М. В. Либерман, А. А. Галицына. – М.: ДМК Пресс, 2015. – 586 с.: ил.

2. Вентцель, Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – 5–е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 448 с.

3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для бакалавров / В. Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – 479 с.