Раздел 1. Элементы теории вероятности (III семестр)

Теория вероятности, МЗР-2

 

Содержание дисциплины

 

РАЗДЕЛ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ (III СЕМЕСТР)

 

Тема 1.1. Основные понятия. Пространство элементарных событий.

Предмет теории вероятностей. Значение статистических методов. Статистический подход к описанию случайных явлений. Основные понятия: пространство элементарных событий, частота события, достоверные, невозможные и случайные события. Операции над событиями

 

Литература:

Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для бакалавров / В. Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – С. 16 – 20.

Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 9-е изд., стеор. – М.: Высшее образование, 2004. – С. 8.

Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. – М.: Наука, 1969. – С. 16 – 20.

Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов/ Н. Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2002. – С. 16 – 18.

 

Задачи для самостоятельного решения:

1.1. На предстоящих выборах губернатором Н-ской области может быть избран представитель партии левых, представитель партии правых, представитель партии зелёных или не избран никто. Событие А состоит в том, что будет избран представитель партии левых. Событие В состоит в том, что будет избран представитель партии правых или представитель партии зелёных.

Опишите события 1) А˅В; 2) А˄В; 3) ; 4) А\В; 5) А\(А˄В).

 

Тема 1.2. Определение вероятности события. Непосредственное вычисления вероятностей.

Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности. Понятие об аксиоматическом определении вероятности. Основные комбинаторные объекты: перестановки, размещения, сочетания, разбиения. Использование методов комбинаторики в теории вероятностей.

 

Литература:

Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для бакалавров / В. Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – С. 20 – 29.

Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 9-е изд., стеор. – М.: Высшее образование, 2004. – С. 8 – 12.

Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. – М.: Наука, 1969. – С. 20 – 29.

Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов/ Н. Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2002. – С. 18 – 20, 24 – 28.

 

Задачи для самостоятельного решения:

1.2. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбивает момент своего прихода в промежутке от 12 до 13 часов.

 

Тема 1.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Алгебра событий. Применение алгебры событий к расчету классической вероятности. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.

 

Литература:

Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для бакалавров / В. Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – С. 27 – 37.

Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 9-е изд., стеор. – М.: Высшее образование, 2004. – С. 12 – 18.

Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. – М.: Наука, 1969. – С. 38 – 45.

Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов/ Н. Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2002. – С. 22 – 24, 34 – 36.

 

Задачи для самостоятельного решения:

1.3. Три стрелка стреляют в мишень. Каждый попадает в мишень или не попадает в мишень независимо от результатов выстрелов остальных стрелков. Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,8, а третий – с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена?

 

РАЗДЕЛ 2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ (III СЕМЕСТР)

 

Задания, которые необходимо сдать на аттестацию

 

Межсессионная аттестация

1. Реферат и защита реферата.

2. Задачи для самостоятельного решения (оформляются как контрольная работа)

1.1. На предстоящих выборах губернатором Н-ской области может быть избран представитель партии левых, представитель партии правых, представитель партии зелёных или не избран никто. Событие А состоит в том, что будет избран представитель партии левых. Событие В состоит в том, что будет избран представитель партии правых или представитель партии зелёных.

Опишите события 1) А˅В; 2) А˄В; 3) ; 4) А\В; 5) А\(А˄В).

1.2. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбивает момент своего прихода в промежутке от 12 до 13 часов.

1.3. Три стрелка стреляют в мишень. Каждый попадает в мишень или не попадает в мишень независимо от результатов выстрелов остальных стрелков. Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,8, а третий – с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена?

1.4. Для проверки усвоения лекционного материала в студенческой группе был случайным образом выбран студент, и ему был предложен тест по теме лекции. В этой студенческой группе 6 отличников, 7 хороших студентов и три средних студента (по результатам прошедшей сессии). Было известно, что отличник справляется с тестом с вероятностью 0,85, хороший студент справляется с тестом с вероятностью 0,6, а средний студент справляется с тестом с вероятностью 0,3.

а) вычислить априорную вероятность того, что был протестирован хороший студент;

в) вычислить вероятность того, что студент не справился с тестом;

с) вычислить вероятность того, что был выбран хороший студент, если известно, что студент с тестом не справился.

1.5. При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущейся цели равна 0,9. Найти наивероятнейшее число попаданий при 50 выстрелах.

1.6. Из двух орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна 0,8, для второго – 0,9. Найти вероятность следующих событий: а) два попадания в цель; б) одно попадание; в) ни одного попадания; г) не менее одного попадания.

1.7. Дискретная случайная величина задана законом распределения

Х	3	4	7	10
р	0,2	0,1	0,4	0,3

Найти функцию распределения и построить ее график.

1.8. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 1 кг. Каков процент коробок, масса которых превышает 940 г? (нормальное распределение).

1.9. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Найти законы распределения составляющих.

 

 

 

Сессионная аттестация

Задачи для самостоятельного решения (оформляются как контрольная работа)

2.1.1. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

2.1.2. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:

Номер	Частичный интервал	Сумма частот вариант частичного интервала
1	10 – 15	2
2	15 – 20	4
3	20 – 25	8
4	25 – 30	4
5	30 – 35	2

 

2.2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 60.

 

Найти несмещенную оценку генеральной совокупности.

2.3. Случайная величина Х (число появлений события А в m независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром р. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события А в 1000 испытаний (в первой строке указано число  появлений события в одном опыте из m = 10 испытаний, во второй строке приведена частота  – число опытов, в которых наблюдалось  появлений события А):

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра р биномиального распределения.

2.4. На обувной фабрике изготавливают детские сапоги одного размера. По выборке объема  вычислена выборочная средняя длин подошвы сапог . Найти с надежностью 0,99 доверительный интервал для средней длины   подошвы сапога, если известно, что среднее квадратическое отклонение длин равно . Предполагается, что длины подошв распределены нормально.

2.5. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности  с эмпирическим распределением выборки.

	110	120	130	140	150	160	170
	1	13	29	42	22	12	1

2.6. Произведено по пять испытаний на каждом из четырех уровней фактора F. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних . Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в таблице:

 

 

2.7. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в следующих корреляционных таблицах:

а)

б)

 

в)

2.8. Найти выборочное уравнение регрессии  = A  + Bx + C и выборочное корреляционное отношение  по данным, приведенным в корреляционной таблице:

а)

б)

в)

г)

д)

 

Рефераты

 

Темы рефератов

 

1. Возникновение и развитие теории вероятностей.

2. Элементы комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания).

3. Случайные события и операции над ними.

4. Классическое определение вероятности.

5. Формула Байеса.

6. Формула Бернулли.

7. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

8. Теорема Пуассона.

9. Предмет и задачи математической статистики.

10. Графическое изображение вариационных рядов.

11. Эмпирическая функция распределения.

12. Интервальное оценивание.

13. Статистические гипотезы и критерии для их проверки (Критерий Пирсона. Критерий Колмогорова).

14. Критерии согласия Пирсона.

15. Элементы дисперсионного анализа.

16. Основы теории корреляции.

17. Статистика многомерных данных.

 

 

Требования к оформлению реферата

 

Объём реферата 20 страниц машинописного текста, шрифт Times New Roman 14, интервал 1,5, выравнивание по ширине, сквозная нумерация страниц, сквозная нумерация рисунков, сквозная нумерация формул, обязательно список литературы – минимум три источника.

 

Образец оформления списка литературы:

 

1. Бослаф, С. Статистика для всех. / Пер. с англ. П. А. Волкова, И. М. Флямер, М. В. Либерман, А. А. Галицына. – М.: ДМК Пресс, 2015. – 586 с.: ил.

2. Вентцель, Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – 5–е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 448 с.

3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для бакалавров / В. Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – 479 с.

МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ, СПОРТА И МОЛОДЕЖИ

ГОУК ЛНР «ЛУГАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

РЕФЕРАТ

 

Иванов а Иванн а Иванов ича

 

Преподаватель:                               

Ищенко Н. С.

«______»_ _________ 20 ___ __г. 

_______________________

                (подпись)               

 

Студент

____________________________

(Ф.И.О., подпись)

«______» ____________ 20 ___ _ г.

 

Луганск

202 _ _

Вопросы к экзамену

1. Основные понятия теории вероятностей. Классификация событий.

2. Простые и составные события. Пространство элементарных событий.

3. Операции над событиями. Полная группа событий. Два несовместимых события.

4. Классическое определение вероятности.

5. Элементы комбинаторики в теории вероятностей: перестановки, размещения и комбинации.

6. Аксиомы теории вероятностей и их следствия.

7. Геометрическая и статистическая вероятности.

8. Зависимые случайные события. Условная вероятность. Формула умножения вероятностей для зависимых случайных событий.

9. Независимые случайные события. Формулы умножения вероятностей для независимых случайных событий.

10. Формула полной вероятности.

11. Формула Байеса.

12. Повторяющиеся независимые эксперименты по схеме Бернулли. Формула Бернулли.

13. Наиболее вероятное число появления случайного события (мода).

14. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Локальная теорема Лапласа.

15. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Свойства функции Лапласа.

16. Формула Пуассона для маловероятных случайных событий.

17. Одномерные случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы распределения их вероятностей.

18. Функция распределения вероятностей (интегральная функция) F (x) и ее свойства.

19. Непрерывная случайная величина. Плотность вероятностей (дифференциальная функция) f (x) и ее свойства.

20. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства.

21. Мода и медиана случайной величины.

22. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Свойства дисперсии.

23. Начальные и центральные моменты. Асимметрия и эксцесс.

24. Система двух дискретных случайных величин (Х, У). Основные числовые характеристики для случайных величин Х, У, образующих систему (Х, У).

25. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции и его свойства.

26. Условные законы распределения системы двух дискретных случайных величин и их числовые характеристики.

27. Стохастическая зависимость.

28. Система произвольного числа случайных величин. Числовые характеристики системы случайных величин.

29. Функции одного дискретного случайного аргумента. Числовые характеристики функции дискретного случайного аргумента.

30. Функция двух случайных аргументов.

31. Биномиальный закон распределения вероятностей.

32. Пуассоновский закон распределения вероятностей.

33. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины. Его числовые характеристики.

34. Кривая нормального распределения, ее свойства.

35. Формулы для вычисления вероятностей событий.

36. Вероятность заданного отклонения для нормально распределенной случайной величины. Правило трех сигм.

37. Экспоненциальный закон распределения. Числовые характеристики.

38. Распределения х2, Стьюдента, Фишера-Снедокора (общие понятия).

39. Равномерный закон распределения и его числовые характеристики.

40. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема теории вероятностей (теорема Ляпунова).

41. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд.

42. Вариационный ряд. Дискретные и интервальные вариационные ряды. Частоты и относительные частоты вариационного ряда.

43. Графическое изображение вариационного ряда. Полигон и гистограмма.

44. Числовые характеристики выборки. Суть и принципы точечных оценок числовых характеристик случайной величины.

Основная литература:

 

4. Бослаф, С. Статистика для всех. / Пер. с англ. П. А. Волкова, И. М. Флямер, М. В. Либерман, А. А. Галицына. – М.: ДМК Пресс, 2015. – 586 с.: ил.

5. Вентцель, Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – 5–е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 448 с.

6. Володин, И. Н. Лекции по теории вероятностей и математической статистике / И. Н, Володин. – Казань: Издательство Казанского гос. университета, 2006. –  271с.

7. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для бакалавров / В. Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – 479 с.

8. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 9-е изд., стеор. – М.: Высшее образование, 2004. – 407 с.

9. Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. – М.: Наука, 1969. – 400с.

10. Кибзун, А. И. Теория вероятностей и математическая статистика: Базовый курс с примерами и задачами: учебное пособие / А. И. Кибзун. – М.: Физматлит, 2002. – 224 с.

11. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов/ Н. Ш. Кремер. - М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2002. – 543с.

12. Микулик Н. А. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / Н. А. Микулик. – Мн.: Пион, 2002. – 192 с.

13. Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике / Д. Письменный. – М.: Айрис–пресс, 2004. – 256 с. 

14. Самойленко, Н. И. Теория вероятностей: учебник / Н. И. Самойленко, А. И. Кузнецов, А. Б. Костенко. – Х.: Изд-во «НТМТ», ХНАГХ, 2009. – 200 с.

 

Теория вероятности, МЗР-2

 

Содержание дисциплины

 

РАЗДЕЛ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ (III СЕМЕСТР)

 

Тема 1.1. Основные понятия. Пространство элементарных событий.

Предмет теории вероятностей. Значение статистических методов. Статистический подход к описанию случайных явлений. Основные понятия: пространство элементарных событий, частота события, достоверные, невозможные и случайные события. Операции над событиями

 

Литература:

Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для бакалавров / В. Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – С. 16 – 20.

Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 9-е изд., стеор. – М.: Высшее образование, 2004. – С. 8.

Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. – М.: Наука, 1969. – С. 16 – 20.

Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов/ Н. Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2002. – С. 16 – 18.

 

Задачи для самостоятельного решения:

1.1. На предстоящих выборах губернатором Н-ской области может быть избран представитель партии левых, представитель партии правых, представитель партии зелёных или не избран никто. Событие А состоит в том, что будет избран представитель партии левых. Событие В состоит в том, что будет избран представитель партии правых или представитель партии зелёных.

Опишите события 1) А˅В; 2) А˄В; 3) ; 4) А\В; 5) А\(А˄В).