Математическое выражение первого закона термодинамики в условиях закрытой системы.

Энергия закрытой термодинамической системы оценивается понятием внутренняя энергия, а работа - работа расширения. Исходя из этого базисная формулировка первого закона примет вид:

Теплота, сообщаемая извне закрытой термодинамической системе, расходуется на изменение внутренней энергии системы и совершение работы расширения:

                                 Q = (U₂ -  U₁) + L = D U + L, [Дж],                   (2.4)

или, применительно к одному килограмму рабочего тела:

                                       q = D u + l  , [Дж/кг].                                (2.4а)

Уравнения 2.4 и 2.4а являются математическим выражением первого закона термодинамики в условиях закрытой т.д.с. в алгебраической форме. Однако для проведения термодинамических исследований более удобной является их дифференциальная форма. Это связано с тем, что на изменение параметров состояния рабочего тела в термодинамическом процессе оказывает влияние не абсолютное значение энергии, а ее изменение.

Наиболее простой вид дифференциальное уравнение первого закона термодинамики принимает в подвижной системе координат, когда начало отсчета, в каждый момент времени, совпадает с началом элементарного процесса (рис. 2.5).

Рис. 2.5.

Пусть 1 килограмм рабочего тела совершает некоторый конечный термодинамический процесс 1-2. На элементарном участке этого процесса (a-b) к рабочему телу подводится бесконечно малое количество теплоты d q, и при этом температура и удельный объем рабочего тела изменяются на бесконечно малые величины dT и dv. В результате бесконечно малого увеличения удельного объема dv рабочее тело совершает бесконечно малую работу d l по преодолению внешних сил. Если, при этом, в рабочем теле не происходит других явлений и отсутствует видимое движение, то уравнение первого закона термодинамики для элементарного процесса запишется в виде   или, в соответствии с 2.2, оно примет вид:

                                                   .                                        (2.5)

В уравнении 2.5 удельная внутренняя энергия и удельный объем являются параметрами состояния и следовательно величины du и dv будут полными дифференциалами. В отличии от них теплота является функцией термодинамического процесса и поэтому величина d q не является полным дифференциалом. Данный факт доказывается методом от противного.

Предположим, что d q=dq. Т. к. внутренняя энергия является параметром состояния рабочего тела она может быть представлена как функция от любых двух других параметров состояния, например u=f(p,v). Исходя из принятых предположений, расписав du как полный дифференциал, математическое выражение первого закона термодинамики для закрытой т.д.с. запишется в виде:

.

Если величина q является полным дифференциалом, то ее смешанные производные должны быть равны между собой:

              .

Полученное неравенство показывает, что d q ¹ dq, а следовательно величина d q не является полным дифференциалом.

Входящая в уравнение 2.5 величина удельной внутренней энергии в отсутствии химических изменений является функцией термического состояния. В соответствии с этим она может быть выражена через два любых других параметра состояния. Если принять за основу функциональную зависимость u=f(v,T),тос учетом того, что изменение удельной внутренней энергии в процессе является полным дифференциалом можно записать что

                                                                            (2.6)

На основании опытов Гей-Люссака и Джоуля установлено, что для идеального газа внутренняя энергия является однозначной функцией от температуры и независит от удельного объема и давления, т.е. (¶ u / ¶ v)_T=0 и (¶ u / ¶ p)_T=0, значит уравнение 2.6 примет вид:               

                                              .                                     (2.6(а))

Для выяснения физического смысла производной (¶ u / ¶ T)_v=0 рассмотрим частный случай термодинамического процесса, протекающего при v=const Þ dv=0. В данном процессе закрытая термодинамическая система не совершает никакой работы: d l= pdv=0. Математическое выражение первого закона термодинамики для закрытой системы (2.5) с учетом (2.6а) запишется в виде:

.

Получили, что в соответствии с определением теплоемкости, рассматриваемая частная производная есть ничто иное как удельная массовая изохорная теплоемкость газа c_v [Дж/кг×К].

Таким образом, изменение удельной внутренней энергии идеального газа в элементарном термодинамическом процессе, протекающем в закрытой т.д.с., определится как:

                                                      .                                            (2.7)

Для любого конечного термодинамического процесса, при условии, что c_v=const, конечное изменение удельной внутренней энергии рабочего тела определится интегрированием уравнения 2.7:

, [Дж/кг],   (2.7(а))

а в случае если c_v = f(T) как:

                             , [Дж/кг],               (2.7(б))

где   и - средние удельные теплоемкости газа для интервалов температур от 0 °С до t₁ и от 0 °С до t₂. Если в термодинамическом процессе участвует произвольная масса газа, то изменение полной внутренней энергии рабочего тела определится как: D U = D u × G [Дж].

Таким образом, дифференциальная форма уравнения 1^ого за-кона термодинамики для идеального газа, находящегося в условия закрытой термодинамической системы, примет вид:

                                 .                                           (2.8)

Уравнение 2.8, являясь канонической формой выражения первого закона термодинамики, в инженерной практике имеет весьма ограниченное применение. Это связано с тем, что схема закрытой термодинамической системы отвечает лишь условиям работы эпизодически действующих тепловых машин (автоклавы, воздушные буферы). Основная же часть тепловых машин, непрерывно производящих работу за счет теплоты, работают в условиях открытой т.д.с., постоянно обмениваясь энергией и рабочим телом с окружающей средой.