Описание алгоритма расширенного фильтра Калмана

 

Фильтр Калмана представляет собой математический аппарат, позволяющий проводить фильтрацию данных, поступающих в реальном времени, не накапливая их для анализа [10]. Данный метод проводит предсказание поведения сигнала s (t) по имеющимся наблюдениям y (t), содержащим ошибку v (t) таким образом, что y (t) = s (t) + v (t), где t – номер отсчёта по временной координате. Процесс называется фильтрацией в силу того, что получаемые данные содержат в себе шумы, от которых необходимо избавиться для получения наилучшей оценки исходного сигнала s (t) [11].

Касаемо модели сигнала, описанной в уравнении (1), важно отметить, что косинус является нелинейной функцией[НБ4], поэтому классический линейный фильтр Калмана также неприменим для данной модели сигнала. При известной априорной модели нелинейного сигнала удобно использовать нелинейный (расширенный) фильтр Калмана, но помимо него существуют и другие методы для обработки таких сигналов, например, последовательный метод Монте-Карло (ПММК). Однако сравнение времени выполнения двух данных методов в системе ОКТ показало, что расширенный фильтр Калмана работает быстрее вне зависимости от размера входных данных [12]. Преимущество ПММК перед фильтром Калмана состоит в том, что он более адаптивен к изменению входных данных и при использовании в ОКТ не теряется качество выходных изображений, но в рамках данной работы более приоритетны скорость и вычислительная сложность алгоритма. Исходя из перечисленных выше факторов, расширенный фильтр Калмана был выбран для исследования в этой работе.

Фильтр Калмана основан на дискретизированных по времени линейных динамических системах. Такие системы можно смоделировать с помощью Марковских цепей при помощи линейных операторов и слагаемых с нормальным распределением [13]. Состояние системы описывается вектором конечной размерности — вектором состояния. В каждый такт времени линейный оператор действует на вектор состояния и переводит его в другой вектор состояния, добавляется некоторый вектор нормального шума и в общем случае вектор управления, моделирующий воздействие системы управления [14].  Вектор состояния содержит в себе компоненты интерферометрического сигнала, модель которого описана в первой главе. Набор параметров в уравнении (1) можно преобразовать в вектор состояния, он будет выглядеть следующим образом:

 

 ,                                                                                    (3)           

где  – компонента оценки фоновой составляющей сигнала,  – компонента оценки амплитуды,  – компонента оценки фазы. Далее вводятся компоненты для оценивания всех необходимых составляющих сигнала: вектор компонентов  из уравнения (2), содержащий 3 элемента, описанных выше – оценки компонент амплитуды, фона и фазы. При инициализации алгоритма данные компоненты оценок представляют собой вектора, размерность которых соответствует размерности исходного сигнала, а начальные значения данных компонент равны нулю.

На k -ом шаге работы алгоритма вектор состояния рассчитывается по следующей формуле:

 

                                                     (4)      

 

где – предсказанное значение, определяемое как  = f (  [НБ5] – значение исходного сигнала на k-ом шаге; – матричный коэффициент усиления фильтра, определяющий вклад невязки наблюдения и предсказания в оценку вектора параметров. Коэффициент усиления  вычисляется следующим образом:

 ,                                     (5)                

где – предсказание ковариационной матрицы ошибок,  – ковариационная матрица шума наблюдения, а  – матрица первых производных функции h (θ)  по компонентам исходного сигнала [15]. Рассчитанная матрица H представлена следующим образом:

 .                      (6)             

Компоненты предсказания ковариационной матрицы ошибок и ковариационной матрицы шума наблюдения, содержащиеся в уравнении (4), определяют вклад каждой оценки компоненты вектора параметров , то есть, какую из компонент вектора параметров фильтр обрабатывает в большей степени. Ковариационная матрица ошибок описана следующим образом:

 

 =     ,                                                                     (7)       

где  дисперсия оценки компоненты фона,  – дисперсия оценки компоненты амплитуды,  – дисперсия оценки компоненты фазы. Ковариационная матрица шума наблюдения  представлена в виде матрицы единичной размерности.