Вычисление площади плоской фигуры

Найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой  осью  и двумя прямыми и , где ,  (рис. 1)     

Так дифференциал переменной площади S есть площадь прямоугольника с основанием dx и высотой , т. е. , то, интегрируя это равенство в пределах от a до b, получим

              (1)

Если криволинейная трапеция прилегает к оси  так, что , (рис. 2), то дифференциал переменной площади S равен  откуда

               (2)
В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой , осью  и прямыми x=a и x=b, лежит под осью  (рис. 3), площадь находится по формуле

              (3)

 

Если фигура, ограниченная кривой , осью  и прямыми x=a и x=b, расположена по обе стороны от оси  (рис. 4), то

                (4)
Пусть, наконец, фигура S ограничена двумя пересекающимися кривыми  и  и прямыми x=a и x=b, где  и  (рис. 5). Тогда ее площадь находится по формуле

                  (5)
Вычисление пути, пройденного точкой

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью  за промежуток времени от  до , вычисляется по формуле

                         (6)

Вариант 0.

Задание1. Вычислить определенный интеграл

Решение:

 

Задание 2. Вычислить с помощью замены переменной

Решение:

Положим t=2-х². Тогда dt=d(2-х²)=(2-х²)'dx=-2xdx и xdx=- dt. Если х=0, то t=2-0²=2, и если х=1, то t=2-1²=1. Следовательно:

Задание 3. Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций и .

Решение.

Найдем координаты точек пересечения кривых.

Данная область ограничивается сверху параболой , а снизу - прямой линией . Следовательно, площадь этой области равна

Задание 4. Скорость движения тела задана уравнением . Найти путь, пройденный телом за 2 секунды от начала движения.

Решение:
путь , пройденный телом за отрезок времени от до , движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле:

Тогда, используя условие, имеем:

Задание 5. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта – апельсины?

Решение.

Элементарными исходами здесь являются наборы, включающие 3 фрукта. Поскольку порядок фруктов безразличен, будем считать их выбор неупорядоченным (и бесповторным). Общее число элементарных исходов  равно числу способов выбрать 3 фрукта из 9, т.е. числу сочетаний . Число благоприятствующих исходов  равно числу способов выбора 3 апельсинов из имеющихся 5, т.е. . Тогда искомая вероятность

.

Требования к содержанию отчета по работе

Отчёт о работе должен содержать название и цель работы, задание, результаты выполнения задания. По результатам работы необходимо сделать выводы.              

       

Контрольные вопросы (Задания для самопроверки качества освоенных результатов обучения):

– свойства неопределенного интеграла

– таблица основных интегралов

– суть метода интегрирования по частям

– суть метода замены переменной

- геометрический смысл определенного интеграла

- свойства определенного интеграла

- применение определенного интеграла при решении задач физики

- применение определенного интеграла при решении задач механики

 

Приложение

Задание 1. Вычислите определенные интегралы методом непосредственного интегрирования

1)	6)
2)	7)
3)	8)
4)	9)
5)	10)

Задание 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной данными линиями

№ варианта	Уравнения линий
1
2
3
4	и
5
6
7
8
9

Задание 3. Решите задачи с помощью определенного интеграла

1. Найти работу производимую при сжатии пружины на 0,03 м, если для сжатия её на 0,005 м нужно приложить силу в 10 Н.

Ответ: 0,9 Дж.

2. Сила упругости пружины, растянутой на 0,05 м, равна 3 Н. Найти работу, которую надо произвести, чтобы растянуть эту пружину на 0,05 м

Ответ: 0,075 Дж.

3. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м

Ответ: 125 Дж.

4. Вычислить работу, совершаемую при сжатии пружины на 15 см, если известно, что для сжатия пружины на 1 см необходима сила в 30 Н.

Ответ: 33,75 Дж.

5. Вычислить работу, совершаемую при сжатии пружины а 0,08 м, если для сжатия её на 0,01 м нужна Сида в 25 Н.

Ответ: 8 Дж.

6. Тело движется прямолинейно со скоростью  (м/с). Найти путь, пройденный за первые 3 с.

Ответ: 16,5 м.

7. Тело движется прямолинейно со скоростью (м/с). найти значение параметра , если известно, что за промежуток времени от  до (с) тело прошло путь длиной 40 м.

Ответ: .

8. Тело движется прямолинейно со скоростью (м/с). Найти длину пути, пройденного телом от начала пути, до его остановки.

Указание: в моменты начала и остановки скорость тела равна нулю.

Ответ: 288 м.

9. Найти путь, пройденный точкой за третью секунду, зная скорость её прямолинейного движения  (м/с).

Ответ: 11 м.

Задание 4. Способ подстановки.

1)            2)            3)

4)      5)   6)   

7)          8)              9)

Задания 5. Способ интегрирования по частям.

1)      2)       3)

 4)        5)     6)

  7)      8)      9)   

Практическая работа № 4

Тема. Элементы теории вероятностей. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины. По заданному условию построить закон распределения дискретной случайной величины.

Цель работы:       

Используя теоретический материал и образцы решения, закрепить навыки решения задач по теме «Элементы теории вероятностей. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины. По заданному условию построить закон распределения дискретной случайной величины.»

 

В результате выполнения работы студенты осваивают следующие результаты обучения в соответствии с ФГОС СПО:

умения:

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знания:

-значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

-основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

-основные понятия и методы математической статистики;

 

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретические положения по теме и записать определение, формулы расчета и т.п.

2. Выполните задание, согласно своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.

3. Сделайте выводы по результатам работы

 

Теоретическая часть