Общая схема исследования функции и построения

Графика функции

Исследование функции целесообразно вести в определенной последовательности.

1. Найти область определения функции.

2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых >0 или <0).

4. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.

5. Найти асимптоты графика функции.

6. Найти интервалы монотонности функции.

7. Найти экстремумы функции.

8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

 

 

Вариант 0.

Задание 1. Раскрыть неопределённость и найти предел .

 

Решение.

 Здесь старшая степень переменной n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :

.

Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .

Задание 2. Исследовать функцию

и построить её график.

Решение.

1. Область определения функции – вся числовая прямая. Множеством значений данной функции, как и всякой показательной функции, служит интервал ]0, +∞[. Поэтому график функции расположен выше оси Ox,

2. Напомним: из школьного курса известно, что функция y = f (x) называется чётной, если

для всех x, принадлежащих области определения функции.

График чётной функции симметричен относительно оси Oy, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; y).

Функция y = f (x) называется нечётной, если

для всех x, принадлежащих области определения функции.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; -y).

Наша исследуемая функция чётная, так как

её график симметричен относительно оси Oy. Поэтому исследование можно выполнять только для ]0, +∞[.

3. Вертикальных асимптот у графика нет, поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой. Горизонтальной асимптотой является ось Ox, так как

Поскольку кривая имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту y = 0, у неё не может быть наклонных асиптот.

4. Находим

Из уравнения

Имеем

Так как при переходе через значение x = 0 меняет знак с плюса на минус, то функция в точке x = 0 переходит от возрастания к убыванию, а (0; 1) – точка максимума. Касательная к кривой в этой точке горизонтальна, поскольку

5. Находим

Из уравнения

получаем

т.е.

Учитывая чётность функции, исследуем знаки в окрестности только точки

Следовательно, при x = 1 кривая меняет выпуклость на вогнутость. Так как

То

точка перегиба кривой. Угловой коэффициент касательной в кривой в этой точке

поэтому в точке перегиба касательная образует с осью Ox тупой угол.

6. График не пересекает оси Ox, поскольку он расположен выше неё. Найдём точки пересечения кривой с осью Oy: полагая x = 0, имеем

Тем самым получим точку (0; 1) графика, которая совпадает с точкой максимума.

7. Составим сводную таблицу исследования функции, куда внесём все характерные точки и интервалы между ними. Учитывая чётность функции, получаем следующую таблицу:

				Особенности графика
[-1, 0[	+	-	Возрастает	Выпуклый
0	0	-	1	(0; 1) – точка максимума
]0, 1[	-	-	Убывает	Выпуклый
1	-	0		- точка перегиба, образует с осью Ox тупой угол
]1, +∞[	-	+	Убывает	Вогнутый
+∞	-	+		y = 0 – горизонтальная асимптота

8. Используя результаты исследования, строим график функции

 

 

Требования к содержанию отчета по работе

Отчёт о работе должен содержать название и цель работы, задание, результаты выполнения задания. По результатам работы необходимо сделать выводы.              

       

Контрольные вопросы (Задания для самопроверки качества освоенных результатов обучения):

- понятие предела функции в точке

- понятие предела функции на бесконечности

- основные теоремы о пределах

- определение производной

- геометрический и физический смысл производной

- формулы производных суммы, произведения, частного функций

- алгоритм исследования функции

 

Приложение

Задание 1.  Вычислить пределы последовательностей:

Задание 2

Вариант№1Исследовать функцию и построить её график: y= y= 1. Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = cos x в точке .	Вариант№2 Исследовать функцию и построить её график:   y= y= Точка движется прямолинейно по закону S (t) = t ^2 + 5 t + 1 (м). Найти мгновенную скорость и ускорение точки в момент времени t = 5 c.
Вариант№3 Исследовать функцию и построить её график: 1. y= 2. y= 3. Составить уравнение касательной к графику функции   в точке с абсциссой .	Вариант№4 Исследовать функцию и построить её график: 1. y= 2. y= 3. Точка движется прямолинейно по закону  (x измеряется в метрах, t в секундах).  Напишите формулу для вычисления скорости в любой момент времени и вычислите её при t = 2.
Вариант№5 Исследовать функцию и построить её график: 1. y= 2. y= 3. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f (x)= (х^2-1)(х^3+х)в точке  х0= -1.	Вариант№6 Исследовать функцию и построить её график: 1. y= -9x+1 2. y= 3. Составить уравнение касательной к графику функции   в точке с абсциссой .
Вариант№7 Исследовать функцию и построить её график: 1. y= 2. y= 3. Тело массой 3 кг движется по закону х(t)=0,25 t ^4 + t ^3 -7 t +2 (х- в метрах). Найдите силу, действующую на тело в момент времени t 0 =2 с.	Вариант№8 Исследовать функцию и построить её график: 1. y= -9x+1 2. y= 3. Материальная точка движется по прямой по закону S (t) = . Найдите её скорость и ускорение в момент времени t = 3. .
Вариант№9 Исследовать функцию и построить её график: 1. y= 2. y= 3. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: В какой момент скорости их равны?	Вариант№10 Исследовать функцию и построить её график: 1. y= -2x- 2. y= 3. Материальная точка массой 2кг движется прямолинейно по закону , где S- путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на неё в момент t = 3 c.

 

 

Практическая работа №3. Неопределенный интеграл.Методы нахождения неопределенного интеграла. Определенный интеграл. Приложение определенного интеграла к решению прикладных задач.

Цель работы. Отработать навыки применения определенных интегралов при решении прикладных задач. Сформировать умение применять формулы комбинаторики в решении задач на вычисление вероятности.

 

В результате выполнения работы студенты осваивают следующие результаты обучения в соответствии с ФГОС СПО:

умения:

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знания:

-значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

-основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

-основные понятия и методы математического анализа, теории вероятностей

основы интегрального и дифференциального исчисления

 

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретические положения по теме и записать определение, формулы расчета и т.п.

2. Выполните задание, согласно своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.

3. Сделайте выводы по результатам работы

 

 

Теоретическая часть